Question

19．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域上邊界剛好與直線y=2a重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一個(gè)帶負(fù)電的粒子在坐標(biāo)為（x，0）的A點(diǎn)以某一速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為30°，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子的重力．
（1）若粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置在C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x，2a），粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小v與x的對(duì)應(yīng)條件．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度滿足什么條件時(shí)可使離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？并求出最長(zhǎng)時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，依題意畫出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系得到軌跡半徑，得到x與a的關(guān)系，再由牛頓第二定律求解．
（2）要使離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角應(yīng)最大，軌跡最長(zhǎng)，畫出軌跡，求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可解得．

解答 解：（1）依題意作過A、C兩點(diǎn)的圓，此圓對(duì)應(yīng)的圓心為O₁，如圖虛線所示．設(shè)該圓的半徑為r，則由幾何關(guān)系可得：
∠AO₁C=120°，作垂直AC的半徑O₁N與AC交于M，則有
  MN=MO₁=$\frac{r}{2}$
其中 r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
故要使帶電粒子能到達(dá)C點(diǎn)，x應(yīng)滿足條件 x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
由牛頓第二定律有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得 r=$\frac{mv}{qB}$
解得 v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$
（2）當(dāng)帶電粒子從x軸射出時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示為粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡，圓心為O₂，PO₂Q與x軸垂直，設(shè)該圓的半徑為r′，由幾何關(guān)系有：

  r′+r′cos30°=2a
解得 r′=4（2-$\sqrt{3}$）a
又因?yàn)?qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
得 v′=$\frac{qBr′}{m}$=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$
粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間 t=$\frac{5}{6}T$=$\frac{5}{6}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$
答：
（1）若粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置在C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x，2a），粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小v對(duì)應(yīng)條件是v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$，x的對(duì)應(yīng)條件是x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度滿足條件：v′=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$時(shí)可使離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間是$\frac{5πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)類型，掌握洛倫茲力與向心力的表達(dá)式，理解牛頓第二定律與幾何關(guān)系的應(yīng)用，注意畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，是解題的關(guān)鍵．