Question

5．我國(guó)在2010年實(shí)現(xiàn)探月計(jì)劃--“嫦娥工程”．同學(xué)們也對(duì)月球有了更多的關(guān)注．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關(guān)系式；物體在地球表面上時(shí)，由重力等于地球的萬(wàn)有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，根據(jù)g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$求出月球的質(zhì)量M_月．

解答 解：（1）令地球質(zhì)量為M，則根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
在地球表面重力與有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…②
由②式得地球質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
代入①可得月球軌道半徑為：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g′，根據(jù)題意：
得：t=$\frac{2{v}_{0}}{g′}$…③
又g′=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$…④
解③④得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問(wèn)題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力，在天體表面重力與萬(wàn)有引力相等．