Question

15．如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在0≤x≤2L且以直線PQ為下邊界的區(qū)域內(nèi)，∠OPQ=30°．y≤0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)粒子重力）從電場(chǎng)中一點(diǎn)M（-$\sqrt{3}$L，-$\frac{L}{2}$）以初速度v₀沿x軸正方向射出后，恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入第I象限，最后剛好不能從磁場(chǎng)的右邊界飛出．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)到離開磁場(chǎng)過程中所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律可求出加速度與速度及位移關(guān)系，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得電場(chǎng)中粒子的速度，粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角θ的大小，然后求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水量方向：$\sqrt{3}$L=v₀t，豎直方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at²，
由牛頓第二定律得：qE=ma，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）粒子在O點(diǎn)：v_y=at，解得：v_y=$\frac{{v}_{0}}{\sqrt{3}}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=$\frac{2{v}_{0}}{\sqrt{3}}$，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{{v}_{0}}{\sqrt{3}}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，與x軸正方向的夾角：θ=30°，
進(jìn)入磁場(chǎng)后，有：（L+2r）sin30°=r+$\frac{r}{2}$，解得：r=L，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$；
（3）電場(chǎng)中時(shí)間：t₁=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$，
勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=$\frac{\sqrt{3}L}{v}$=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=$\frac{πr}{v}$=$\frac{\sqrt{3}πL}{2{v}_{0}}$，
總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}π）L}{2{v}_{0}}$；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B為$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$；
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)到離開磁場(chǎng)過程中所用的時(shí)間為$\frac{（2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}π）L}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)、在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、應(yīng)用幾何知識(shí)是正確解題的前提．