Question

14．游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車(chē)可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客不會(huì)掉下來(lái)．我們把這種情形抽象為如圖所示的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使質(zhì)量為m的小球從弧形軌道上端滾下，小球從圓軌道下端進(jìn)入后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．如果已知圓軌道的半徑為R，重力加速度為g，不考慮阻力．求：

（1）若小球從高為h處由靜止釋放，小球到達(dá)圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若要使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，討論小球由靜止釋放時(shí)的高度滿(mǎn)足的條件；
（3）若讓小球從高為h=2R處的A點(diǎn)由靜止釋放，試求小球所能達(dá)到的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球從高h(yuǎn)處?kù)o止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得到速度大小，再由牛頓第二定律合外力提供向心力可求解軌道對(duì)小球彈力大�。�
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道有兩種情況，一種是小球可以過(guò)最高點(diǎn)，另一種情況是小球最高到達(dá)與圓心等高處．
（3）小球從高2R處由靜止釋放，需要先由第二問(wèn)判斷，再由動(dòng)能定理，牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解．

解答 解析：（1）小球從高為h處由靜止釋放，到達(dá)最低點(diǎn)速度為v，此過(guò)程由動(dòng)能定理：
                    $mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
             小球到達(dá)圓軌道底端時(shí)軌道對(duì)小球的彈力為N，由牛頓第二定律：
                  $N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ②
              聯(lián)立①②式可解的 $N=mg（1+\frac{2h}{R}）$
            根據(jù)牛頓第三定律小球到達(dá)圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力   $N′=N=mg（1+\frac{2h}{R}）$ 方向：豎直向下
（2）第一種可能：小球可以到達(dá)最高點(diǎn)，由牛頓第二定律：
             $mg≤m\frac{{v}^{2}}{R}$     ③
         小球從高h(yuǎn)處到圓軌道最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理：
           $mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ④
        聯(lián)立③④式可解得   $h≥\frac{5}{2}R$
      第二種可能：小球恰到達(dá)與圓心等高處，由機(jī)械能守恒：
            mgh=mgR
        可得小球不脫離軌道最小高度：h=R
      所以高度應(yīng)該滿(mǎn)足：$h≥\frac{5}{2}R$  或  h≤R
（3）若讓小球從高為h=2R處的A點(diǎn)由靜止釋放因：$h=2R＜\frac{5}{2}R$，設(shè)如圖小球?qū)⒃贑點(diǎn)脫離軌道，此時(shí)N=0
         由牛頓第二定律：$mgsinθ=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ⑤
         小球從A點(diǎn)到C點(diǎn)速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理：
             $mgR（1-sinθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                ⑥
       小球在C處斜拋，達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)速度：
                      v′=vsinθ                            ⑦
        小球從A點(diǎn)到最高點(diǎn)H，根據(jù)動(dòng)能定理：
             $mg（2R-H）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$                    ⑧
       聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式可解得：$H=\frac{50}{27}R$
答：（1）若小球從高為h處由靜止釋放，小球到達(dá)圓軌道底端時(shí)對(duì)軌道的壓力為  $N′=N=mg（1+\frac{2h}{R}）$ 方向：豎直向下
       （2）若要使小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，小球由靜止釋放時(shí)的高度滿(mǎn)足的條件：$h≥\frac{5}{2}R$  或  h≤R
       （3）若讓小球從高為h=2R處的A點(diǎn)由靜止釋放，試求小球所能達(dá)到的最大高度：$H=\frac{50}{27}R$

點(diǎn)評(píng) 此題綜合程度較高，特別是第三問(wèn)考察了動(dòng)能定理，圓周運(yùn)動(dòng)，斜拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合的問(wèn)題，在此題分析中也可以應(yīng)用機(jī)械能守恒．