Question

16．“嫦娥五號(hào)”計(jì)劃于2017年前后在海南文昌航天發(fā)射基地發(fā)射，實(shí)施無人采樣返回任務(wù)．若干年后，我國(guó)將向月球發(fā)射近20顆月球衛(wèi)星，宇航員可以乘航天飛機(jī)對(duì)月球衛(wèi)星進(jìn)行維修．已知某月球衛(wèi)星陽繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且距離月球表面的高度為h，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g．不考慮月球的自轉(zhuǎn)，求：
（1）該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；
（2）維修該衛(wèi)星時(shí)，航天飛機(jī)的速度v．

Answer 1

分析 根據(jù)已知量，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力列出等式，近月衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出月球表面附近的某衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T．

解答 解：（1）根據(jù)近月衛(wèi)星的萬有引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{4π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為：T=2π（R+h）$\sqrt{\frac{R+h}{{gR}^{2}}}$=$\frac{2π（R+h）}{gR}•\sqrt{g（R+h）}$．
（2）維修該衛(wèi)星時(shí)，航天飛機(jī)的速度v與衛(wèi)星的速度想相等的，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{{（{R+h}）}^2}}=m\frac{v^2}{R+h}$
得：v=$\frac{R\sqrt{g（R+h）}}{R+h}$
答：（1）衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的周期是$\frac{2π（R+h）}{gR}•\sqrt{g（R+h）}$；（2）維修該衛(wèi)星時(shí)，航天飛機(jī)的速度是$\frac{R\sqrt{g（R+h）}}{R+h}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬有引力定律的應(yīng)用，解答此題要清楚月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，月球近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力．