Question

3．已知火星的半徑為R，在火星表面以初速度豎直向上拋一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t落回出發(fā)點(diǎn)．若在火星上發(fā)射一顆環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，以下論述正確的是（　　）

• A． 衛(wèi)星的線速度不可能小于$\sqrt{\frac{2R{v}_{0}}{t}}$
• B． 衛(wèi)星的加速度不可能小于$\frac{2{v}_{0}}{t}$
• C． 衛(wèi)星的角速度不可能小于$\sqrt{\frac{2{v}_{0}}{Rt}}$
• D． 衛(wèi)星的周期不可能小于π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出火星表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出在衛(wèi)星繞火星運(yùn)動(dòng)的最大速度、加速度和角速度、周期，然后分析答題．

解答 解：小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，則重力加速度：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
火星表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，則：GM=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t}$；
A、衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{rt}}$，由于衛(wèi)星的軌道半徑：r≥R，則：v≤$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$，故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，解得：a=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t{r}^{2}}$，由于衛(wèi)星的軌道半徑：r≥R，則：a≤$\frac{2{v}_{0}}{t}$，故B錯(cuò)誤；
C、衛(wèi)星的角速度：ω=$\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{{r}^{3}t}}$，由于衛(wèi)星的軌道半徑：r≥R，則：ω≥$\sqrt{\frac{2{v}_{0}}{Rt}}$，故C錯(cuò)誤；
D、衛(wèi)星的周期：T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}t}{2{v}_{0}{R}^{2}}}$，由于衛(wèi)星的軌道半徑：r≥R，則：T≥π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$，故D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律理論與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，通過(guò)速度時(shí)間公式求出月球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵，知道軌道半徑越小，線速度越大、角速度越大，向心加速度越大．