Question

11．在相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，有一傾角為θ=45°，足夠長的光滑絕緣斜面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，電場方向豎直向上．有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球靜止在斜面頂端，這時小球?qū)π泵娴恼龎毫η『脼榱�，如圖所示，
（1）若迅速把電場方向反轉(zhuǎn)豎直向下，小球能在斜面上連續(xù)滑行多遠(yuǎn)？所用時間是多少？
（2）小球離開斜面瞬間，若突然將電場改為豎直向上，則小球?qū)⒆鍪裁催\動？它的運動半徑是多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電場豎直向上時，小球?qū)π泵鏌o壓力，可知電場力和重力大小相等；當(dāng)電場豎直向下時，小球受到向下的力為2mg；當(dāng)小球恰好離開斜面時，在垂直于斜面的方向上合力為零，由此可求出此時的速度；在此過程中，電勢能和重力勢能轉(zhuǎn)化為動能，由動能定理即可求出小球下滑的距離．經(jīng)受力分析可知，小球在沿斜面方向上合力不變，故沿斜面做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可求出運動時間．
（2）突然將電場改為豎直向上，則電場力與重力大小相等，方向相反，粒子受到的洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運動，結(jié)合牛頓第二定律即可求出半徑．

解答 解：（1）由靜止可知：qE=mg
當(dāng)小球恰好離開斜面時，對小球受力分析，受豎直向下的重力、電場力和垂直于斜面向上的洛倫茲力，此時在垂直于斜面方向上合外力為零．
則有：（qE+mg）cosθ=qvB
由動能定理得：（qE+mg）sinθ•x=$\frac{1}{2}$mv²
解得：x=$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$
對小球受力分析，在沿斜面方向上合力為（qE+mg）sinθ，且恒定，故沿斜面方向上做勻加速直線運動．由牛頓第二定律得：
（qE+mg）sinθ=ma
得：a=2gsinθ
由x=$\frac{1}{2}$at²
得：t=$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$
（2）小球離開斜面瞬間，若突然將電場改為豎直向上，則小球受到的電場力向上，由于qE=mg，所以小球受到的合力是洛倫茲力，由洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運動．
由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{2{m}^{2}gcosθ}{{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）小球能在斜面上滑行距離為$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$；小球在斜面上滑行時間是$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$；
（2）小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運動，它的運動半徑是$\frac{2{m}^{2}gcosθ}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點評 該題考察了帶電物體在復(fù)合場中的運動情況，解決此類問題要求我們要對帶電物體進(jìn)行正確的受力分析，要注意找出當(dāng)小球離開斜面時的受力情況是解決該題的關(guān)鍵．
在運動學(xué)中，只牽扯到位移和速度問題的往往用能量解決；如果牽扯到時間，往往應(yīng)用牛頓運動定律或動量定理來解決．