Question

4．（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=K，K是一個對所有行星都相同的常量，衛(wèi)星繞地球做運動的形式與行星繞太陽運動的形式相似，將衛(wèi)星繞地球的運動按圓周運動處理，請你推導(dǎo)出地球衛(wèi)星系統(tǒng)中該常量k的表達式，已知萬有引力常量為G，地球的質(zhì)量為M．
（2）某人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動，軌道半徑6.8×10³km，周期為5.6×10³s，試計算地球的質(zhì)量M_地（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及開普勒第三定律求出地球衛(wèi)星系統(tǒng)中該常量k的表達式．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出地球的質(zhì)量

解答 解：（1）以行星為研究對象，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：K=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
（2）由$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$可得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=6×10²⁴Kg
答：（1）k的表達式為K=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
（2）地球的質(zhì)量為6×10²⁴Kg

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，注意運用該理論求解天體質(zhì)量只能求解中心天體的質(zhì)量，并能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量