Question

15．平板小車C放在光滑水平面上，現(xiàn)有質(zhì)量為2m的物塊A和質(zhì)量為m的木塊B，分別以2v₀和v₀的初速度沿同一直線從小車的兩端水平相向滑上小車，如圖所示，設(shè)A、B兩物塊與小車的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ和2μ，小車的質(zhì)量為3m，A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）在A、B物塊同時(shí)相對(duì)小車滑動(dòng)過(guò)程中，簡(jiǎn)要分析小車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．
（2）為使A、B兩物塊不相碰，平板小車至少要多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小車受力分析，進(jìn)而判斷小車的運(yùn)動(dòng)情況；
（2）要想使物體A、B不相碰，A、B相對(duì)于小車的位移大小之和等于車的長(zhǎng)度，對(duì)三個(gè)物體組成的系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出小車的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）因A、B物塊在滑動(dòng)過(guò)程中，對(duì)小車的摩擦力大小相等、方向相反，所以小車C不動(dòng)．
（2）A、B物塊在滑動(dòng)過(guò)程中，小車C不動(dòng)，AB組成的系統(tǒng)受到的合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)B停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)A的速度為v_A，以向右為正，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得
2m•2v₀-mv₀=2mv_A
解得：${v}_{A}=\frac{3}{2}{v}_{0}$
在這段時(shí)間內(nèi)，A、B的加速度分別為${a}_{A}=\frac{μ•2mg}{2m}=μg$，${a}_{B}=\frac{μ•2mg}{m}=2μg$，
在這段時(shí)間內(nèi)A、B在車上滑行的距離為 ${x}_{A}=\frac{（2{v}_{0}）^{2}-{{v}_{A}}^{2}}{2{a}_{A}}=\frac{7{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$，${x}_{B}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{B}}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
此后A相對(duì)小車仍在運(yùn)動(dòng)，A對(duì)車的摩擦力使車和B一同向右加速運(yùn)動(dòng)，直接三者速度相等，A、B恰好接觸，此時(shí)小車的長(zhǎng)度為最小長(zhǎng)度．設(shè)共同速度為v′，則有
2m•2v₀-mv₀=（2m+m+3m）v′
$μ•2mg{x}_{3}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}×6mv{′}^{2}$
解得：${x}_{3}=\frac{{{3v}_{0}}^{2}}{4μg}$
則車的長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)=${x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{3}=\frac{{{15v}_{0}}^{2}}{8μg}$
答：（1）在A、B物塊同時(shí)相對(duì)小車滑動(dòng)過(guò)程中，小車C不動(dòng)．
（2）為使A、B兩物塊不相碰，平板小車的長(zhǎng)度至少為$\frac{{{15v}_{0}}^{2}}{8μg}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律是正確解題的關(guān)鍵，解題時(shí)要分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程，注意應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)要規(guī)定正方向．