Question

7．如圖（a）所示，絕熱氣缸內(nèi)封閉著一定質(zhì)量的理想氣體，一厚度不計(jì)的絕熱活塞與上、下氣缸內(nèi)壁相距均為h，把氣體分成體積相等的M、N兩部分．氣缸內(nèi)壁光滑，活塞可在氣缸內(nèi)自由滑動(dòng)．已知活塞的橫截面積為S，質(zhì)量為m=$\frac{{p}_{0}S}{g}$，兩部分氣體的初始溫度均為T₀，M內(nèi)氣體的初始?jí)簭?qiáng)為p₀．現(xiàn)把M、N兩部分倒置，問：
（i）倒置后如圖（b），通過電熱絲加熱M內(nèi)的氣體一段時(shí)間，若仍要使兩部分氣體體積相等，則M內(nèi)氣體的溫度需達(dá)到多少？
（ii）倒置后如圖（c），活塞向下移動(dòng)，當(dāng)兩部分氣體各自達(dá)到新的平衡，發(fā)現(xiàn)N內(nèi)氣體溫度為$\frac{5}{8}$T₀，M內(nèi)氣體溫度為$\frac{3}{2}$T₀，則活塞向下移動(dòng)的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出倒置前N部分氣體的壓強(qiáng)，倒置加熱后，N部氣體的體積和壓強(qiáng)均不變，即可求出倒置加熱后M部分氣體的壓強(qiáng)，再應(yīng)用查理定律可以求出氣體的溫度．
（2）設(shè)倒置后，活塞向下移動(dòng)的距離是△h，根據(jù)幾何關(guān)系寫出它們的體積之間的關(guān)系式；對(duì)活塞進(jìn)行受力分析，寫出它們的壓強(qiáng)之間的關(guān)系式，然后分別寫出兩部分氣體的理想狀態(tài)的狀態(tài)方程，最后聯(lián)立即可求出．

解答 解：（i）由題意可知，倒置前后，N內(nèi)氣體體積和溫度不變，由理想氣體狀態(tài)方程可知，
其壓強(qiáng)也不變，為${P_N}={P_0}+\frac{mg}{S}=2{P_0}$①
設(shè)倒置后M內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為P₁、溫度為T₁，
由題意可知${P_1}={P_N}+\frac{mg}{S}=3{P_0}$②
倒置過程M內(nèi)氣體體積不變，由查理定律得：$\frac{P_0}{T_0}=\frac{P_1}{T_1}$③
聯(lián)立②③解得：T₁=3T₀
（ii）設(shè)活塞的橫截面積為S．倒置后，活塞向下移動(dòng)的距離是△h，N內(nèi)氣體的溫度為${T_N}^/=\frac{5}{8}{T_0}$、壓強(qiáng)為${P_N}^/$，M內(nèi)氣體的溫度為${T_M}^/=\frac{3}{2}{T_0}$、壓強(qiáng)為${P_M}^/$．
由題意可知${P_M}^/={P_N}^/+\frac{mg}{S}={P_N}^/+{P_0}$④
倒置過程，由理想氣體狀態(tài)方程可知，
對(duì)N內(nèi)氣體，有$\frac{{{P_N}•Sh}}{T_0}=\frac{{{P_N}^/•S（h+△h）}}{{{T_N}^/}}$⑤
對(duì)M內(nèi)氣體，有$\frac{{{P_0}•Sh}}{T_0}=\frac{{{P_M}^/•S（h-△h）}}{{{T_M}^/}}$⑥
聯(lián)立①④⑤⑥解得：$△h=\frac{h}{4}$
答：（i）倒置后如圖（b），M內(nèi)氣體的溫度需達(dá)到3T₀；
（ii）倒置后如圖（c），則活塞向下移動(dòng)的距離是$\frac{1}{4}h$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了氣體溫度問題以及理想狀態(tài)的狀態(tài)方程，求出氣體初末狀態(tài)的參量，應(yīng)用查理定律即可正確解題；知道整個(gè)過程中N的壓強(qiáng)不變、應(yīng)用平衡條件求出氣體壓強(qiáng)是正確解題的前提與關(guān)鍵