Question

3．自然界時刻發(fā)生著你死我活的奔跑賽，膽小勢弱的羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過x₁=50m的距離能加速到最大速度v₁=25m/s，并能維持該速度一段較長的時間；獵豹從開始奔跑，經(jīng)過x₂=60m的距離能加速到最大速度v₂=30m/s，以后只能維持這個速度t₀=4.0s，接著做加速度大小為a=2.5m/s²的勻減速運動直到停止． 設獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后t'=0.5s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑． 則：
（1）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應在什么范圍？
（2）獵豹要在其減速前追到羚羊，x值應在什么范圍？

Answer 1

分析 （1）獵豹要在其加速階段追上羚羊，只要獵豹運動時間小于其加速的最大時間即可，然后根據(jù)位移關系列方程即可正確求解．
（2）抓住獵豹和羚羊加速的時間相等，可知獵豹追到羚羊時，羚羊早已在做勻速運動，只是勻速運動的時間比獵豹少了0.5s，根據(jù)獵豹和羚羊之間的位移關系列方程即可正確求解．

解答 解：（1）羚羊做加速運動的加速度大小為：
a₁═$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{x}_{1}}=\frac{2{5}^{2}}{2×50}m/{s}^{2}$m/s²=6.25m/s²　
羚羊做加速運動的時間為：
t₁═$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{25}{6.25}s$s=4.0s　
而獵豹做加速運動的加速度為：
a₂=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{x}_{2}}=\frac{900}{2×60}$m/s²=7.5m/s²　
獵豹做加速運動的時間為：
t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{30}{7.5}s$=4.0s　
因t₂=t₁，獵豹要在其加速階段追上羚羊，獵豹運動的時間t≤4s
所以，獵豹追上羚羊時，羚羊也正在加速運動，則有：
$\frac{1}{2}$a₂t²≥$\frac{1}{2}$a₁（t-t'）²+x
代入數(shù)據(jù)解得：x≤21.7m．　
（2）設獵豹在維持最大速度的時間內追到羚羊，由題意得總時間為：t≤8.0s
由t₂=t₁可知，當獵豹進入勻速運動過程0.5s后，羚羊將做勻速運動．所以，當獵豹追到羚羊時，羚羊早已在做勻速運動，只是勻速運動的時間比獵豹少了0.5s，則有：
x₂+v₂t₀≥x₁+x+v₁（t₀-t'）　
代入數(shù)據(jù)解得：x≤42.5m　
綜合（1）問可知21.7m＜x＜42.5m．
答：（1）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值的范圍為x≤21.7m．　
（2）獵豹要在其減速前追到羚羊，x值的范圍為21.7m＜x＜42.5m．

點評 對于追及問題一是要熟練應用運動學公式，二是明確追者和被追者之間的位移、時間關系，根據(jù)位移、時間關系列方程即可正確求解．