Question

14．在有“科學(xué)界奧斯卡”之稱的美國《科學(xué)》雜志2003年度世界科技大突破評選中，物理學(xué)中的“證明宇宙是由暗物質(zhì)和暗能量‘主宰’”的觀點(diǎn)名列榜首，成為當(dāng)今科技突破中的頭號熱點(diǎn)．世界科技的發(fā)展顯示，暗物質(zhì)、暗能量正成為天體物理學(xué)研究的重點(diǎn)．宇宙中的暗物質(zhì)是不能直接觀測到的東西，存在的依據(jù)來自子螺旋轉(zhuǎn)的星系和星團(tuán)，這些星系和星團(tuán)以自身為中心高速旋轉(zhuǎn)而沒有飛散開去，僅靠自身質(zhì)量產(chǎn)生的引力是遠(yuǎn)不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質(zhì)，它的吸引力足以把這些旋轉(zhuǎn)的星系牢牢抓住．根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定該雙星系統(tǒng)中每一個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L（L遠(yuǎn)大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動．
（1）若沒有其他物質(zhì)存在，試推算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T．
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測到的運(yùn)動周期為T′，且T′：T=1：$\sqrt{N}$（N＞1），為了解釋觀測周期T′和（1）中理論上推算的雙星運(yùn)動的周期T不同，目前有一種理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種用望遠(yuǎn)鏡也觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析 （1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動，相互間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動周期T；
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質(zhì)的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解其密度．

解答 解：（1）雙星均繞它們的連線中點(diǎn)做圓周運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的周期為T，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}=M•\frac{L}{2}•（\frac{2π}{T}）^{2}$
解得周期為：T=πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$
（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體運(yùn)動的周期T′＜T，說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它還受到其他指向中心的作用力．由題意知，這一作用力來源于均勻分布的暗物質(zhì)．均勻分布在球內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一個質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M′而位于中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)相同，考慮到暗物質(zhì)作用后雙星的運(yùn)動周期即為T′，則有：
$G\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{MM′}{（\frac{L}{2}）^{2}}=M•\frac{L}{2}•{（\frac{2π}{T′}）}^{2}$，
由題設(shè)條件可知：T′：T=1：$\sqrt{N}$
聯(lián)立解得：M′=$\frac{N-1}{4}$M  
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，有：
ρ•$\frac{4}{3}$π•${（\frac{L}{2}）}^{3}$=$\frac{N-1}{4}$M  
解得：$ρ=\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T為πL$\sqrt{\frac{2L}{GM}}$；
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度為$\frac{3（N-1）M}{2π{L}^{3}}$．

點(diǎn)評 對于雙星問題和暗物質(zhì)問題，關(guān)鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運(yùn)動的圓心不在連線的中點(diǎn)，要采用隔離法研究．