Question

20．如圖所示裝置中，區(qū)域Ⅰ和Ⅲ中分別有豎直向上和水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E和0.5E；Ⅱ區(qū)域內(nèi)有垂直向外的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、帶電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從左邊界O點(diǎn)正上方的M點(diǎn)以速度v₀水平射入電場(chǎng)，經(jīng)水平分界線OP上的A點(diǎn)與OP成60°角射入Ⅱ區(qū)域的磁場(chǎng)，并垂直豎直邊界CD進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．求：
（1）粒子在Ⅱ區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）O、M間的距離；
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，由題意，粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度方向與OP成60°角，即可求出此時(shí)粒子的速度．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出軌道半徑．
（2）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律求得加速度，在A點(diǎn)，豎直方向的速度大小為v_y=v₀tan60°，由速度公式求解時(shí)間，由位移求得O、M間的距離．
（3）畫出粒子在Ⅱ區(qū)域磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$，求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)中后，先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，第二次通過(guò)CD邊界．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求得粒子在Ⅲ區(qū)域電場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間，即可求解粒子從M點(diǎn)出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所用時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度為v，
由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律知 $v=\frac{{v_0^{\;}}}{{cos{{60}°}}}$
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
所以 $R=\frac{{2m{v_0}}}{qB}$
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，加速度為a．

則有qE=ma
v₀tan60°=at₁
即${t_1}=\frac{{\sqrt{3}m{v_0}}}{qE}$
O、M兩點(diǎn)間的距離為 $L=\frac{1}{2}at_1^2=\frac{3mv_0^2}{2qE}$
（3）設(shè)粒子在Ⅱ區(qū)域磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．
則由幾何關(guān)系知軌道的圓心角∠AO₁D=60°，則
${t_2}=\frac{T_1}{6}=\frac{πm}{3qB}$
設(shè)粒子在Ⅲ區(qū)域電場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間為t₃，則牛頓第二定律得
$a'={\frac{{q\frac{E}{2}}}{m}^{\;}}=\frac{qE}{2m}$
則 t₃=$\frac{2{v}_{0}}{a′}$=$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$
故粒子從M點(diǎn)出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所用時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}+\frac{πm}{3qB}+\frac{4m{v}_{0}}{qE}$=$\frac{4+\sqrt{3}}{qE}m{v}_{0}+\frac{πm}{3qB}$
答：
（1）粒子在Ⅱ區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$．
（2）O、M間的距離是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qE}$．
（3）粒子從M點(diǎn)出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{4+\sqrt{3}}{qE}m{v}_{0}+\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類平拋運(yùn)動(dòng)，畫軌跡確定圓心和半徑是處理粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵．