Question

14．理論證明，開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，而且適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)，在衛(wèi)星運(yùn)行軌道為圓的簡(jiǎn)化模型下，衛(wèi)星以地球?yàn)閳A心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試根據(jù)開普勒運(yùn)動(dòng)定律與牛頓第二、第三運(yùn)動(dòng)定律，推算出地球?qū)πl(wèi)星的引力的表達(dá)式．

Answer 1

分析 星繞太陽(yáng)能做圓周運(yùn)動(dòng)，是由引力提供向心力來(lái)實(shí)現(xiàn)的．再由開普勒第三定律可推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律．由圓周運(yùn)動(dòng)可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與地球表面重力加速度進(jìn)行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力．

解答 解：設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽(yáng)質(zhì)量為M，行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽(yáng)對(duì)行星的引力為F．
太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力：
F=m（$\frac{2π}{T}$）²R=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}$R，
根據(jù)開普勒第三定律：
$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=K，
得：
T²=$\frac{{R}^{3}}{K}$，
故：
F=$\frac{4{π}^{2}mK}{{R}^{2}}$，
根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽(yáng)間的引力是相互的，太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過(guò)來(lái)，行星對(duì)太陽(yáng)的引力大小與也與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比．所以太陽(yáng)對(duì)行星的引力：
F∝$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
寫成等式有：
F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$（G為常量）．
答：地球?qū)πl(wèi)星的引力的表達(dá)式為F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$（G為常量）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律公式通過(guò)理論進(jìn)行科學(xué)、合理的推導(dǎo)．