Question

12．如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場．左側(cè)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域和右側(cè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向分別垂直紙面向外和向里．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，穿過中間磁場區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動過程．求：
（1）中間磁場區(qū)域的寬度d；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動，垂直進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)動能定理即可求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率；粒子在磁場中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場區(qū)域的寬度；
（2）先求出在電場中運(yùn)動的時(shí)間，再求出在兩段磁場中運(yùn)動的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理，可得：$qEL=\frac{1}{2}m{v^2}$
帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得：$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
由以上兩式，可得：$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$．   
可見在兩磁場區(qū)粒子運(yùn)動半徑相同，如圖所示，三段圓弧的圓心組成的三角形△O₁O₂O₃是等邊三角形，其邊長為2R．所以中間磁場區(qū)域的寬度為：
$d=Rsin60°=\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$
（2）在電場中有：${t_1}=\frac{2v}{a}=\frac{2mv}{qE}=2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
在中間磁場中運(yùn)動時(shí)間為：${t_2}=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3qB}$
在右側(cè)磁場中運(yùn)動時(shí)間為：${t_3}=\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{3qB}$，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為：$t={t_1}+{t_2}+{t_3}=2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}+\frac{7πm}{3qB}$．  
答：（1）中間磁場區(qū)域的寬度是$\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間是$2\sqrt{\frac{2mL}{qE}}+\frac{7πm}{3qB}$

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡，運(yùn)用幾何知識求解軌跡半徑．