Question

5．在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)設(shè)備中，可以通過(guò)施加適當(dāng)?shù)碾妶?chǎng)、磁場(chǎng)來(lái)改變或控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)用電場(chǎng)或磁場(chǎng)來(lái)控制質(zhì)量為m、電荷量為q的正電荷的運(yùn)動(dòng)．如圖1所示，在xOy平面內(nèi)有一點(diǎn)P，OP與x軸夾角θ=45°，且OP=l，不計(jì)電荷的重力．

（1）若該電荷以速度v₀從O點(diǎn)沿x軸正方向射出，為使電荷能夠經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，
a．若在整個(gè)空間只加一平行于y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
b．若在整個(gè)空間只加一垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向．
（2）若整個(gè)空間同時(shí)存在（1）中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，某時(shí)刻將該電荷從O點(diǎn)由靜止釋放，該電荷能否再次回到O點(diǎn)？請(qǐng)你在圖2中大致畫(huà)出電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析 （1）a．根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求得加速度的，進(jìn)而得到電場(chǎng)強(qiáng)度；
b．根據(jù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡得到半徑，進(jìn)而由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）將電荷運(yùn)動(dòng)分解成兩部分，其中一部分的洛倫茲力等于電場(chǎng)力，使電荷做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另外一部分則只受洛倫茲力做圓周運(yùn)動(dòng)，即可根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成求得運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答 解：（1）a、電荷在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，電荷要運(yùn)動(dòng)到P 點(diǎn)，則電場(chǎng)方向?yàn)閥 軸負(fù)向；
由圖可知水平方向位移為：$x=lcos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}l$
豎直方向位移為：$y=lsin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}l$；
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE{x}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$
所以有：$E=\frac{2my{{v}_{0}}^{2}}{q{x}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$；
b、空間中存在磁場(chǎng)，則正電荷在其中僅受洛倫茲力做圓周運(yùn)動(dòng)，由初速度方向及落點(diǎn)，可得正電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
所以，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向方向垂直xOy 平面向外；且電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}l$；
由洛倫茲力做向心力，可得：$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{ql}$；
（2）空間存在沿y 軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E 和垂直xOy 平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B．
物體初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，可以看作是水平向左的速度v 與水平向右的速度v 的合成．若令$v=\frac{E}{B}$，則電荷之后的運(yùn)動(dòng)可以看作是水平向左的速度v 引起的運(yùn)動(dòng)，與水平向右的速度v 引起的運(yùn)動(dòng)的合成．其中對(duì)于水平向左的速度v，對(duì)應(yīng)的洛倫茲力 f=qvB=qE，方向豎直向上，剛好與電場(chǎng)力平衡，因此該分運(yùn)動(dòng)是向左的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)于水平向右的初速度v，受到洛倫茲力，產(chǎn)生的是順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．
因此，電荷的運(yùn)動(dòng)是向左的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合成，運(yùn)動(dòng)軌跡大致如圖（此軌跡可以證明是一條擺線(xiàn)）．故電荷不能回到O 點(diǎn)．
答：（1）若該電荷以速度v₀從O點(diǎn)沿x軸正方向射出，為使電荷能夠經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，
a．若在整個(gè)空間只加一平行于y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$，方向：沿y 軸負(fù)向；
b．若在整個(gè)空間只加一垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{ql}$，方向：垂直xOy 平面向外．
（2）若整個(gè)空間同時(shí)存在（1）中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，某時(shí)刻將該電荷從O點(diǎn)由靜止釋放，該電荷不能再次回到O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般先對(duì)粒子進(jìn)行受力分析求得合外力，然后由牛頓第二定律求得加速度，再根據(jù)幾何關(guān)系求解粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．