Question

6．已知某星球的半徑為R，繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一顆衛(wèi)星質(zhì)量為m，到星球表面的高度為h，星球表面自由落體加速度為g．求：
（1）衛(wèi)星繞該星球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T；
（2）該星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力可得運(yùn)轉(zhuǎn)周期
（2）衛(wèi)星繞星球做近地運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力，直接化簡(jiǎn)可得第一宇宙速度

解答 解：（1）衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$①
在星球表面的物體重力等于萬有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$②
聯(lián)立①②得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）星球的近地衛(wèi)星萬有引力提供向心力
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}$
答：（1）衛(wèi)星繞該星球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$；
（2）該星球的第一宇宙速度v為$\sqrt{gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握解決天體問題的兩種關(guān)系：1、萬有引力提供向心力、2、星球表面的重力等于萬有引力，同時(shí)要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．