Question

12．河寬300m，水流速度為3m/s，小船在靜水中的速度為5m/s，問：
（1）以最短時間渡河，時間為多少？可到達對岸的什么位置？
（2）以最短航程渡河，船頭應朝向何處？渡河時間又為多少？（sin37°=0.6   cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）當船在垂直于河岸方向上的速度最大時，渡河時間最短，即為船頭始終指向河對岸時，時間最短．用運動學公式即可得知渡河的最短時間．
（2）船垂直渡河時船的航程最短，此時船頭要指向上游，并且沿河岸方向上的分量大小與水流的速度大小相等，對兩個速度進行合成，即可求得渡河時間．

解答 解：（1）要使船到達對岸的時間最短，即為在垂直于河岸的方向上船的速度最大，即為船頭應垂直于河岸行駛，如圖所示，最短時間為：
t_min=$\fracn79hjbf{{v}_{c}}$=$\frac{300}{5}$=60s
此時沿河岸方向的位移x=v_水t=3×60m=180m．
航程s=$\sqrt{znbfj7n^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{30{0}^{2}+18{0}^{2}}$=350m
（2）要使船航程最短，即為讓船垂直河岸渡河，船航行的實際速度垂直于河岸，如圖所示
設船在靜水中的速度方向與河岸間的夾角為θ，船在靜水中的速度沿河岸上的分量大小與水流的速度大小相等，方向相反，有：v_靜•cosθ=v_水
即為：cosθ=$\frac{3}{5}$得：θ=53°
即為船頭指向上游，與河岸間的夾角為53°
此時合速度為：v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4m/s
渡河時間為：t=$\fracdzvrxrd{{v}_{合}}$=$\frac{300}{4}$=75s
答：（1）要使船到達對岸的時間最短，船頭應指向河對岸，最短時間為60s，在到達對岸偏下游350m位置．
（2）要使船航程最短，船頭指向上游，與河岸間的夾角為53°，此時過河所用的時間為75s．

點評 該題通過渡河的模型考察了運動的合成與分解，關于渡河問題，應注意幾種渡河方式，一是垂直渡河，此時渡河位移最短，但是所用時間不是最短的，此種情況要求船的合速度與河岸垂直，二是船頭始終指向對岸的渡河，此種情況下渡河時間最短，但是渡河位移不是最短；關于渡河問題，還要會判斷能否垂直渡河，其條件是船在靜水中的速度大小要大于河水流動的速度大�。�