Question

20．同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用，加速過(guò)程中粒子軌道固定，磁場(chǎng)可跳變．其基本原理簡(jiǎn)化為如圖所示的模型．M、N為兩塊中心開(kāi)有小孔的平行金屬板．質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子A（不計(jì)重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零，每當(dāng)A進(jìn)入板間，兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁，粒子得到加速，當(dāng)A離開(kāi)N板時(shí)，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱悖畠砂逋獠看嬖诖怪奔埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，R遠(yuǎn)大于板間距離，A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，動(dòng)能不斷增大，為使R保持不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)地變化．不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng)．求
（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（2）在A運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率$\overline{{P}_{2}}$； 
（3）若有一個(gè)質(zhì)量也為m、電荷量為+4q的粒子B（不計(jì)重力）與A同時(shí)從M板小孔飄入板間，A、B初速度均可視為零，不計(jì)兩者間的相互作用，除此之外，其他條件均不變，運(yùn)動(dòng)過(guò)程B粒子的軌跡半徑也始終不變．求A、B粒子在磁場(chǎng)作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比$\frac{T_A}{T_B}$和半徑之比$\frac{R_A}{R_B}$．

Answer 1

分析 （1）對(duì)直線(xiàn)加速過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式；對(duì)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）A運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為qU；先根據(jù)動(dòng)能定理求解該過(guò)程的速度，然后根據(jù)線(xiàn)速度的定義公式求解時(shí)間；最后根據(jù)平均功率的定義求解平均功率；
（3）由T=$\frac{2πm}{qB}$求出周期之比．根據(jù)動(dòng)能定理判斷粒子速度關(guān)系，然后根據(jù)R=$\frac{mv}{qB}$求軌道半徑之比．

解答 解：（1）設(shè)A經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后速度為v₁，由動(dòng)能定理得：
 qU=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-0   ①
A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受的洛倫茲力提供向心力，故：
 qv₁B₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$  ②
由①②解得：
B₁=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$③
（2）設(shè)A經(jīng)過(guò)2次加速后的速度為v₂，由動(dòng)能定理，得到：
 2qU=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0             ④
設(shè)A做第2次圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)₂，有：
T₂=$\frac{2πR}{{v}_{2}}$ ⑤
設(shè)在A做第2周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力做功為W₂，則：
 W₂=qU    ⑥
在該段時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力做功的平均功率為：$\overline{{P}_{2}}$=$\frac{{W}_{2}}{{T}_{2}}$ ⑦
由④⑤⑥⑦解得：$\overline{{P}_{2}}$=$\frac{qU}{πR}$$\sqrt{\frac{qU}{m}}$ ⑧
（3）A經(jīng)過(guò)n次加速后，設(shè)其對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B_n，A、B的周期分別為T(mén)_A、T_B，綜合②⑤式并分別應(yīng)用A、B的數(shù)據(jù)得到：
 T_A=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，T_B=$\frac{2πm}{4q{B}_{n}}$
則兩個(gè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比 $\frac{T_A}{T_B}$=$\frac{4}{1}$
由上可知，T_A是T_B的4倍，所以A每次繞行1周，B就繞行4周．由于電場(chǎng)只在A通過(guò)時(shí)存在，故B僅在與A同時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)才被加速．
經(jīng)過(guò)n次加速后，A、B的速度分別為v_A和v_B，考慮到④式，有：
 v_A=$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$
 v_B=$\sqrt{\frac{2×4qU}{m}}$=2v_A
由題設(shè)條件并考慮到⑤式，對(duì)A有：
 T_Av_A=2πR_A；
設(shè)B的軌跡半徑為R′，有：
 T_Bv_B=2πR_B；
比較上述兩式得到：半徑之比 $\frac{R_A}{R_B}$=$\frac{2}{1}$
答：
（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）在A運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率$\overline{{P}_{2}}$是$\frac{qU}{πR}$$\sqrt{\frac{qU}{m}}$；
（3）A、B粒子在磁場(chǎng)作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比$\frac{T_A}{T_B}$是$\frac{4}{1}$，半徑之比$\frac{R_A}{R_B}$是$\frac{2}{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確同步加速器的工作原理，然后結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律、電功率定義和幾何關(guān)系列式分析．