Question

20．如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=1.8m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)人固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，最后小物塊無(wú)碰撞地滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的足夠長(zhǎng)的水平傳送帶．已知傳送帶上表面與圓弧軌道末端切線相平，傳送帶沿順時(shí)針方向勻速運(yùn)行的速度為v=3m/s，小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓弧軌道的半徑為R=2m，C點(diǎn)和圓弧的圓心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6．試求：
（1）小物塊到光滑圓弧C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)支持力大��；
（3）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C的過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度方向，由速度的分解法求物塊到達(dá)C點(diǎn)速度．
（2）由C到D的過(guò)程，利用動(dòng)能定理求解D點(diǎn)的速度，在D點(diǎn)，利用牛頓第二定律列式求解軌道對(duì)物塊的支持力．
（3）物塊在傳送帶上滑動(dòng)時(shí)，做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減到零后，反向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度相同后一起做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出共同運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)能量守恒求出物塊在木板上相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）設(shè)小物體在C點(diǎn)時(shí)得速度大小為v_C，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，C點(diǎn)的速度方向與水平方向成θ=53°，由幾何關(guān)系可得：
   v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{1.8}{0.6}$m/s=3m/s…①
（2）由C點(diǎn)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²…②
物塊在D點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…③
由牛頓第三定律，小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為：F_N′=F_N…④
①②③④聯(lián)立得：F_N′=22.5N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊在傳送帶上滑動(dòng)得加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
  a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10m/s²=5m/s²…⑤
小物塊勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，向左通過(guò)得位移為x₁，傳送帶向右運(yùn)動(dòng)得距離為x₂，則：
  v_D=at₁…⑥
  x₁=$\frac{1}{2}$at₁²…⑦
  x₂=vt₁…⑧
小物塊向右勻加速直線運(yùn)動(dòng)達(dá)到和傳送帶速度相同時(shí)間為t₂，向左通過(guò)得位移為x₃，傳送帶向右運(yùn)動(dòng)得距離為x₄，則：
  v=at₂…⑨
  x₃=$\frac{1}{2}$at₂²…⑩
  x₄=vt₂…⑪
整個(gè)過(guò)程小物塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)得距離為：
  x=x₁+x₂+x₄-x₃…⑫
生成得熱量為：Q=μmgx…⑬
聯(lián)立⑤至⑬聯(lián)立解得：Q=32J
答：
（1）小物塊到光滑圓弧C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C是3m/s．
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)支持力大小為22.5N．
（2）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為32J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)情況，把握隱含的條件，如“物塊恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)人固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道”，意味著C點(diǎn)的速度方向與
水平方向成θ角，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球在C點(diǎn)速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒或動(dòng)能定理解決．