Question

14．如圖所示，間距為L(zhǎng)、電阻為零的U形金屬豎直軌道，固定放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直紙面里．豎直軌道上部套有一金屬條bc，bc的電阻為R，質(zhì)量為2m，可以在軌道上無摩擦滑動(dòng)，開始時(shí)被卡環(huán)卡在豎直軌道上處于靜止?fàn)顟B(tài)．在bc的正上方高H處，自由落下一質(zhì)量為m的絕緣物體，物體落到金屬條上之前的瞬問，卡環(huán)立即釋改，兩者一起繼續(xù)下落．設(shè)金屬條與導(dǎo)軌的摩擦和接觸電阻均忽略不計(jì)，豎直軌道足夠長(zhǎng)．求：
（1）金屬條開始下落時(shí)的加速度；
（2）金屬條在加速過程中，速度達(dá)到v₁時(shí)，bc對(duì)物體m的支持力；
（3）金屬條下落h時(shí)，恰好開始做勻速運(yùn)動(dòng)，求在這一過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出物體與金屬條碰撞前的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰后整體的速度，結(jié)合安培力、切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式以及閉合電路歐姆定律，運(yùn)用牛頓第二定律求出金屬條開始下落時(shí)的加速度；
（2）求出金屬條的加速度，然后由牛頓第二定律求出bc對(duì)m的支持力．
（2）根據(jù)重力與安培力相等，求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度，結(jié)合能量守恒定律求出金屬條開始下落到恰好開始做勻速運(yùn)動(dòng)的過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）物塊m自由下落，做自由落體運(yùn)動(dòng)，由速度位移公式得：v₀²=2gH，
解得，與金屬條碰撞的速度為：v₀=$\sqrt{2gH}$，
設(shè)物體m落到金屬條2m上，金屬條立即與物體有相同的速度v開始下落，由m和2m組成的系統(tǒng)相碰過程動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+2m）v，
解得：v=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gH}$，
金屬條以速度v向下滑動(dòng)，切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，在閉合電路中有感應(yīng)電流為：
I=$\frac{BLv}{R}$=$\frac{BL\sqrt{2gH}}{3R}$，
則金屬條所受安培力為：
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{3R}$，
對(duì)于，金屬條和物體組成的整體，由牛頓第二定律可得：
（m+2m）g-F=（m+2m）a，
則金屬條開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為：
a=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$；
（2）當(dāng)金屬條和物體的速度達(dá)到v₁時(shí)，加速度設(shè)為a′，同理可得加速度為：
a′=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$，
對(duì)物體m來說，它受重力mg和支持力N，則有：
mg-N=ma′=m（g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$），
解得：N=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3R}$；
（3）金屬條和物體一起下滑過程中受安培力和重力，隨速度變化，
安培力也變化，做變加速度運(yùn)動(dòng)，最終所受重力和安培力相等，
加速度也為零，物體將以速度v_m做勻速運(yùn)動(dòng)，
則有：3mg-F′=0，F(xiàn)′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$，
金屬條的最終速度為：v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
下落h的過程中，設(shè)金屬條克服安培力做功為W_A，由動(dòng)能定理得：
3mgh-W_A=$\frac{1}{2}$×3mv_m²-$\frac{1}{2}$×3mv²，
感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量Q=W_A，
解得：Q=3mgh+$\frac{1}{3}$mgH-$\frac{27{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）金屬條開始下落時(shí)的加速度為g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gH}}{9mR}$；
（2）金屬條在加速過程中，速度達(dá)到v₁時(shí)，bc對(duì)物體m的支持力為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3R}$；
（3）金屬條下落h時(shí)，恰好開始做勻速運(yùn)動(dòng)，在這一過程中感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量為3mgh+$\frac{1}{3}$mgH-$\frac{27{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，絕緣物體與金屬條碰撞過程中，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，且時(shí)間很短，可以應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題，要知道動(dòng)量守恒定律所能解決的三類問題；分析清楚金屬條的運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用安培力公式、配合個(gè)條件、能量守恒定律即可正確解題．