Question

17．如圖所示，在絕緣水平面上有兩條長度均為4L、間距為L的平行直金屬軌道，處于豎直向下的磁感應強度大小為B的勻強磁場中．垂直軌道放置、長為L的金屬滑桿從軌道左側(cè)以速度v勻速移動到右側(cè)，軌道與滑桿單位長度的電阻均為$\frac{R}{L}$，兩者無摩擦且接觸良好．軌道兩側(cè)分別連接理想電壓表和電流表．求：
（1）當金屬滑桿到達軌道正中間時電壓表示數(shù)；
（2）金屬滑桿右側(cè)軌道電阻消耗的電功率最大時，滑桿距軌道左側(cè)的距離．

Answer 1

分析 （1）當金屬桿到達軌道中間時，由E=BLv求出感應電動勢，求出回路的總電阻，得到回路的電流，再求電壓表示數(shù)．
（2）由電功率公式P=UI得到P電阻的關(guān)系，再由數(shù)學知識求解電功率的最大值．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應定律得：金屬滑桿產(chǎn)生的感應電動勢 E=BLv
當金屬滑桿到達軌道正中間時，與電流表所組成的回路總電阻 R′=（4L+L）$\frac{R}{L}$=5R
由閉合電路歐姆定律得，回路中電流 I=$\frac{E}{R′}$
電壓表讀數(shù)：U=I•4R=$\frac{4}{5}$BLv
（2）設金屬桿向右運動x距離時，滑桿右側(cè)軌道電阻消耗的電功率最大，設此時滑桿右側(cè)軌道的電阻為R_x．
電阻R_x消耗的電功率 P=UI=$\frac{BLv{R}_{x}}{R+{R}_{x}}$×$\frac{BLv}{R+{R}_{x}}$=$\frac{（BLv）^{2}{R}_{x}}{（R-{R}_{x}）^{2}+4R{R}_{x}}$
當R_x=R時，金屬滑桿右側(cè)軌道電阻消耗的電功率最大，所以 （8L-2x）$\frac{R}{L}$=R
解得 x=3.5L
即滑桿距軌道左側(cè)的距離3.5L時滑桿右側(cè)軌道電阻消耗的電功率最大．
答：
（1）當金屬滑桿到達軌道正中間時電壓表示數(shù)是$\frac{4}{5}$BLv；
（2）金屬滑桿右側(cè)軌道電阻消耗的電功率最大時，滑桿距軌道左側(cè)的距離是3.5L．

點評 掌握法拉第電磁感應定律、歐姆定律是解題的基礎，關(guān)鍵得到電功率與電阻的關(guān)系，運用數(shù)學知識求解電功率的最大值．