Question

1．如圖所示，一根細線上端固定于某點O，下端系一砂箱靜止于A點，砂箱質(zhì)量M=0.60kg，O點到砂箱中心的距離為L=1.6m．現(xiàn)從左向右用彈簧槍向砂箱水平發(fā)射速度v₀=20m/s的彈丸，彈丸質(zhì)量m=0.20kg．假設(shè)砂箱每次擺到最低點時，就恰好有一顆彈丸射入砂箱，并留在其中．取g=10m/s²，不計空氣阻力，彈丸與砂箱的相互作用時間極短．彈丸和砂箱在擺動時可看作質(zhì)點．求：
（1）第一顆彈丸射入砂箱后
a．砂箱獲得的速度v₁；
b．通過計算說明，沙箱能否到達圖中的B點（OB在水平方向）．
（2）第二顆、第三顆、第四顆…彈丸射入砂箱后，能否實現(xiàn)砂箱做完整的圓周運動？若能，計算出第幾顆彈丸射擊后可以；若不能，通過計算說明理由．

Answer 1

分析 （1）子彈射入砂箱過程系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律求出子彈射入砂箱后的速度，子彈與砂箱一起擺到過程系統(tǒng)機械能守恒，應(yīng)用機械能守恒定律求出砂箱上升的最大高度，然后判斷砂箱能否做完整的圓周運動．
（2）子彈射入砂箱過程系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律求出子彈射入砂箱后的速度，然后根據(jù)砂箱的速度判斷砂箱能否做完整的圓周運動．

解答 解：（1）a、以子彈和砂箱為研究對象，以子彈的初速度方向為正方向，
彈丸射入砂箱的過程系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₁，代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s；
b、設(shè)砂箱和彈丸向上擺動的最大高度為h，根據(jù)機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=（M+m）gh，代入數(shù)據(jù)解得：h=1.25m，
因為：h＜L=1.6m，所以沙箱不可能到達B點；
（2）子彈射入砂箱過程系統(tǒng)動量守恒，以子彈初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
第二顆子彈射入砂箱的過程：mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，解得：v₂=0，
同理，第三顆子彈射入的過程：mv₀=（M+3m）v₃，解得：v₃=3.33m/s，
…
由以上計算分析得出：當n=2k（k=1、2、3…）顆彈丸射入后，沙箱的速度v_2k=0；
當n=2k-1（k=1、2、3…）顆彈丸射入后，沙箱的速度為：v_2k-1=$\frac{m{v}_{0}}{M+（2k-1）m}$，
此后每次射擊后的沙箱速度都比前一次小，沙箱升起的高度也將越來越�。� 
因此不論射多少顆彈丸，沙箱都不可能做完整的圓周運動．
答：（1）第一顆彈丸射入砂箱后
a、砂箱獲得的速度v₁為5m/s；
b、沙箱不能到達圖中的B點．
（2）第二顆、第三顆、第四顆…彈丸射入砂箱后，不能實現(xiàn)砂箱做完整的圓周運動．

點評 本題動量守恒與圓周運動的臨界條件、機械能守恒的綜合，采用歸納法分析是關(guān)鍵．