Question

11．有人設計了一種可測速的跑步機．測速原理如圖所示，該機底面固定有間距為L、長度為d的平行金屬電極．電極間充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，理想伏特表和電阻R并聯(lián)后接在電極的兩端．絕緣橡膠帶上固定有間距為d的平行細金屬條，橡膠帶在電動機帶動下運動時，金屬條將隨著橡膠帶進入磁場區(qū)域，金屬條跟電極接觸良好，金屬條的電阻均為r，其他部分的電阻均可忽略不計．

（1）寫出橡膠帶運動速度v跟伏特表示數(shù)U之間的表達式；
（2）橡膠帶以速度v₁勻速運動時，每根金屬條穿過磁場區(qū)域克服安培力做的功；
（3）關閉電動機，運動員在跑步機上跑步時對橡膠帶的靜摩擦力也可以帶動橡膠帶運動，這種跑步機被稱為機械式跑步機．假定橡膠帶在此種情況下運動時受到的機械阻力跟速度的平方成正比，即f=kv²，k為比例常數(shù)，并且運動員消耗的體能全部用來維持橡膠帶勻速運動．求橡膠帶以速度v₂勻速運動時運動員消耗的功率．

Answer 1

分析 （1）磁場中始終有一根金屬條切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢，相當于電源，電壓表測量路端電壓．由感應電動勢公式E=BLv和歐姆定律等等知識求解．
（2）根據(jù)感應電動勢公式E=BLv、歐姆定律和安培力公式F=BIL，求出安培力的大小，即可由功的公式求解克服安培力做的功．
（3）橡膠帶勻速運動，運動員對橡膠帶的摩擦力大小：F=f+F₂，據(jù)題f=kv₂²，安培力F₂=BI₂L，運動員消耗的最小功率：P=Fv₂，結合求解橡膠帶以速度v₂勻速運動時運動員消耗的功率P．

解答 解：（1）金屬條做切割磁感線運動產(chǎn)生的電動勢大小為：E=BLv
回路中的電流大小為：I=$\frac{E}{R+r}$
伏特表的示數(shù)為：U=IR            
解得：v=$\frac{R+r}{BLR}U$      
（2）金屬條中的電流為：I₁=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$          
金屬條受的安培力大小為：F₁=BI₁L  
金屬條克服安培力做功為：W=F₁d=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$
（3）運動員對橡膠帶的摩擦力大小為：F=f+F₂
據(jù)題有：f=kv²
又 F₂=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
運動員消耗的最小功率為：P=Fv₂=（ f+F₂）v₂
聯(lián)立得：P=${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）
答：（1）橡膠帶運動速度v跟伏特表示數(shù)U之間的表達式為v=$\frac{R+r}{BLR}U$．
（2）每根金屬條穿過磁場區(qū)域克服安培力做的功是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$．
（3）橡膠帶以速度v₂勻速運動時運動員消耗的功率為${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）．

點評 本題是理論聯(lián)系實際問題，關鍵是建立物理模型，綜合運用電磁感應知識、電路知識、力學知識解題，要有分析和解決實際問題的能力．