Question

13．如圖所示，第二象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直于紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合；第三象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩者場(chǎng)強(qiáng)分別E₁=500V/m和B₂=0.5T；第四象限有一電場(chǎng)強(qiáng)度E=2000$\sqrt{3}$V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與x軸負(fù)方向成60⁰指向y軸負(fù)方向．一質(zhì)量m=1×l0^-14kg、電荷量q=1×10^-10C的帶正電的粒子以某一速度v從y軸上的N點(diǎn)沿與y軸負(fù)方向成60°角方向射入第二象限，后經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入第三象限內(nèi)并沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子經(jīng)y軸上的M點(diǎn)與y軸負(fù)方向成60°角的方向進(jìn)入第四象限，M點(diǎn)坐標(biāo)（0，-0.1m），N點(diǎn)坐標(biāo)（0，0.3m），粒子重力忽略不計(jì)．求：
（1）第二象限中矩形磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大�。�
（2）第二象限中矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積：
（3）若在該粒子經(jīng)M點(diǎn)進(jìn)入第四象限的同時(shí)，在適當(dāng)?shù)奈恢糜伸o止釋放另一與該粒子完全相同的帶電粒子，可使兩粒子在離開第四象限前相遇．求所有滿足條件的釋放點(diǎn)的集合（不計(jì)兩粒子之間的相互作用力）．

Answer 1

分析 （1）由帶電粒子在第三象限做直線運(yùn)動(dòng)可知，電場(chǎng)力等于洛倫茲力，據(jù)此求出速度，由幾何關(guān)系求出做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求解；
（2）畫出矩形ACPQ及第二象限中圓周運(yùn)動(dòng)從Q到P的軌跡，根據(jù)圖中幾何關(guān)系即可求解；
（3）帶電粒子從M進(jìn)入第四象限后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）由帶電粒子在第三象限做直線運(yùn)動(dòng)可知，E₁q=B₂qv
解得：v=$\frac{{E}_{1}}{{B}_{2}}=1000m/s$，
帶電粒子在第二象限中，由幾何關(guān)系可知，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=$\frac{\sqrt{3}}{15}m$，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：${B}_{1}qv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：${B}_{1}=\frac{mv}{Rq}=\frac{\sqrt{3}}{2}T$
（2）畫出矩形ACPQ及第二象限中圓周運(yùn)動(dòng)從Q到P的軌跡，
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，PQ=0.2m，
CP=$\frac{1}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{30}m$
矩形的最小面積${S}_{min}=\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$
（3）如圖中，帶電粒子從M進(jìn)入第四象限后做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x′=vt，$y′=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{{E}_{1}q}{m}$
帶電粒子再次達(dá)到y(tǒng)軸時(shí)有幾何關(guān)系：tan60°=$\frac{y′}{x′}=\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}=\frac{at}{2v}$
解之得：t=1×10^-4s
則x′=vt=0.1m
在x軸上的投影x=$x′sin60°=\frac{\sqrt{3}}{20}m$
所有滿足條件的釋放點(diǎn)的集合：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{10}m$（0$≤x≤\frac{\sqrt{3}}{20}m$）
答：（1）第二象限中矩形磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小為$\frac{\sqrt{3}}{2}T$；
（2）第二象限中矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$；
（3）所有滿足條件的釋放點(diǎn)的集合為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{10}m$（0$≤x≤\frac{\sqrt{3}}{20}m$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．