Question

4．如圖所示，一小型發(fā)電機(jī)內(nèi)有一n=100匝矩形線圈，線圈的面積S=0.10m²，線圈電阻r=4Ω，在外力作用下矩形線圈在B=0.10T勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，以恒定的角度ω=100πrad/s繞垂直于磁場(chǎng)方向的固定軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，發(fā)電機(jī)線圈兩端經(jīng)過(guò)集流環(huán)與R=96Ω的電阻構(gòu)成閉合回路．求：
（1）線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值；
（2）若由圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，寫(xiě)出通過(guò)電阻R的電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，畫(huà)出電流隨時(shí)間變化的圖線．
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)60°角過(guò)程中穿過(guò)線圈的磁通量變化量△Φ=？
（4）圖中電壓表的示數(shù)；
（5）線圈從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)90°角的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量；
（6）線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)1.0s，電流通過(guò)線圈電阻r產(chǎn)生的焦耳熱；
（7）線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)10s，外力對(duì)線圈做的功．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值E_m=nBSω計(jì)算；
（2）先寫(xiě)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值表達(dá)式，再通過(guò)歐姆定律計(jì)算出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，再作圖即可；
（3）先計(jì)算圖示位置的磁通量，再計(jì)算轉(zhuǎn)過(guò)60°角時(shí)的磁通量，計(jì)算兩個(gè)磁通量差值即可；
（4）電壓表測(cè)量的是電阻R上的電壓有效值，先計(jì)算電動(dòng)勢(shì)的有效值，再根據(jù)歐姆定律計(jì)算出電壓表的讀數(shù)；
（5）先計(jì)算線圈從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)90°角的過(guò)程中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，利用歐姆定律求出平均電流，再利用電量公式化簡(jiǎn)計(jì)算；
（6）計(jì)算出電流的有效值，再利用焦耳定律計(jì)算焦耳熱；
（7）由能量守恒可知，外力對(duì)線圈所做的功等于線圈電阻r和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱，直接計(jì)算焦耳熱即可．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為：
E_m=nBSω=100×0.10×0.10×100π（V）=100π（V）
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值為：
e=E_msinωt=100πsin100πt，
總電阻為：
R_總=R+r=100Ω
電流的瞬時(shí)值為：
$i=\frac{e}{{R}_{總}(cāng)}=πsin100πt≈3.14sin100πt$
周期T=$\frac{2π}{ω}=0.02s$，畫(huà)出電流隨時(shí)間變化的圖線如圖所示
（3）圖示位置的磁通量為：
Φ₁=BS=0.1×0.1Wb=0.01Wb
轉(zhuǎn)到60°角時(shí)磁通量為：
Φ₂=BScos60°=0.1×0.1×0.5Wb=0.005Wb
故線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)60°角過(guò)程中穿過(guò)線圈的磁通量變化量為：
△Φ=Φ₂-Φ₁=-0.005Wb；
（4）E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{100π}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}π$V
電壓表測(cè)量的R兩端電壓的有效值，則有：
U=$\frac{R}{R+r}E=\frac{96}{100}×50\sqrt{2}πV≈213V$
（5）線圈從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)90°角過(guò)程中，平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}$
流過(guò)電阻R的電流為：
$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
則通過(guò)電阻R的電荷量為：
q=$\overline{I}•△t=\frac{\overline{E}}{R+r}•△t=\frac{n\frac{△Φ}{△t}}{r+R}•△t=\frac{n•△Φ}{R+r}$
而△Φ=Φ₁=0.01Wb
代入解得：q=0.01C
（6）電流有效值為：$I=\frac{π}{\sqrt{2}}A$
線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)1.0s，電流通過(guò)線圈電阻r產(chǎn)生的焦耳熱為：
$Q={I}^{2}rt=（\frac{π}{\sqrt{2}}）^{2}×4×1J=2{π}^{2}J$
（7）線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)10s，外力對(duì)線圈做的功等于電阻R和線圈電阻r上產(chǎn)生的焦耳熱，故有：
W=${Q}_{1}={I}^{2}（R+r）{t}_{1}^{2}$=$（\frac{π}{\sqrt{2}}）^{2}×（96+4）×10J=500{π}^{2}J$
答：（1）線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為100π（V）；
（2）若由圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，通過(guò)電阻R的電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為i=3.14sin100πt，畫(huà)出電流隨時(shí)間變化的圖線如圖所示．
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)60°角過(guò)程中穿過(guò)線圈的磁通量變化量△Φ=-0.005Wb；
（4）圖中電壓表的示數(shù)約為213V；
（5）線圈從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)90°角的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電荷量為0.01C；
（6）線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)1.0s，電流通過(guò)線圈電阻r產(chǎn)生的焦耳熱為2π²J；
（7）線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)10s，外力對(duì)線圈做的功為500π²J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的內(nèi)容較多，要對(duì)交流的有關(guān)物理概念深刻理解，才能保證不會(huì)出錯(cuò)；特別注意電表測(cè)量的是有效值．計(jì)算焦耳熱用的也是有效值．