Question

7．圖為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機(jī)組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動．將質(zhì)量為10kg的一袋大米放在A端，到達(dá)B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分，米袋與傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為0.5．試求：
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離；
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍．（$\frac{\sqrt{5}}{5}$=0.447，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應(yīng)判斷米袋到達(dá)B點(diǎn)時是否已達(dá)最大速度，若沒達(dá)到，則由位移與速度的關(guān)系可求得B點(diǎn)速度，若達(dá)到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關(guān)系可求得上升的最大距離；
（2）米袋在CD上應(yīng)做減速運(yùn)動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應(yīng)一直減速，則可求得最短時間；

解答 解：（1）米袋在AB上加速時的加速度${a}_{0}=\frac{μmg}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，
米袋速度達(dá)到v₀=5m/s時，
滑行的距離${s}_{0}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{0}}=\frac{25}{10}m=2.5m＜3m$，
因?yàn)槊状�在到達(dá)B點(diǎn)之前就有了與傳送帶相同的速度．
設(shè)米袋在CD上運(yùn)動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得，mgsinθ+μmgcosθ=ma，
代入數(shù)據(jù)解得a=10m/s²．
所以能滑上的最大距離$s=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{25}{20}m=1.25m$．
（2）設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₁時米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)（即米袋到達(dá)D點(diǎn)時速度恰好為零），
則米袋速度減為v₁之前的加速度為a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由$\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{0-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}=4.45m$，
代入數(shù)據(jù)，解得 v₁=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時間最長為t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}+\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}=2.1s$．
若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{min}}^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得t_min=1.16s
所以，所求的時間t的范圍為 1.16 s≤t≤2.1 s；
答：（1）若CD 部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，米袋沿傳送帶所能上升的最大距離為1.25m．
（3）若要米袋能被送到D 端，CD 部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足大于等于4m/s，米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍為1.16 s≤t≤2.1 s．

點(diǎn)評 本題是個多過程問題，關(guān)鍵要理清各個階段的運(yùn)動情況，結(jié)合牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解．