Question

2．如右圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導軌在B點相接，導軌半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，當它經(jīng)過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運動恰能完成半個圓周運動到達C點．不計空氣阻力．試求：
（1）物塊m在B點的速度及動能
（1）當m在A點時，彈簧的彈性勢能的大�。�
（2）物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大��；
（3）如果半圓形軌道也是光滑的，其他條件不變，當物體由A經(jīng)B運動到C，然后落到水平面，落點為D（題中未標出，且水平面足夠長），求D點與B點間距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出B點的速度，由${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$求的B電動能
（2）結(jié)合能量守恒定律求出物體在A點時的彈簧的彈性勢能．
（3）物體恰好通過最高點C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點的速度，通過動能定理求阻力做的功
（4）由動能定理求的到達C點的速度，從C點做平拋運動，由平拋運動求的水平位移

解答 解：（1）物塊在B點時，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
F_N=7mg    
解得：${v}_{B}=\sqrt{6gR}$                             
E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=3mgR                                        
（2）在物體從A點至B點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能
Ep=E_kB=3mgR
（3）物體到達C點僅受重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
E_kC=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR                                   
物體從B點至C點只有重力和阻力做功，根據(jù)動能定理有：
W_阻-mg•2R=E_kC-E_kB
解得W_阻=-0.5mR                                     
所以物體從B點運動至C點克服阻力做的功為W=0.5mgR．
（4）在物體從B點至C點的過程中，根據(jù)動能定理有：
-mg2R=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$   
解得：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=mgR  
得：v_c=$\sqrt{2gR}$
由C點到D點，物體做平拋運動，有：
水平方向：X_BD=v_ct                                     
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：X_BD=2$\sqrt{2}R$
答：（1）物塊m在B點的速度為$\sqrt{6gR}$，動能為3mgR
（1）當m在A點時，彈簧的彈性勢能的大小為3mgR；
（2）物塊m從B點運動到C點克服阻力做的功的大小為0.5mgR；
（3）如D點與B點間距離為$2\sqrt{2}R$

點評 本題考查了牛頓第二定律和能量守恒定律的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵