Question

11．如圖所示，AB為一光滑水平橫桿，桿上套一質(zhì)量為M的小圓環(huán)，環(huán)上系一長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩，繩的另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)將繩拉直，且與AB平行，由靜止釋放小球，則：
（1）當(dāng)線繩與AB成θ角時(shí)，圓環(huán)移動(dòng)的距離是多少？
（2）求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）在小球向下擺動(dòng)的過(guò)程中，雖然小球、細(xì)繩及圓環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力不為零（桿的支持力與兩圓環(huán)及小球的重力之和不相等），系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒，但是系統(tǒng)在水平方向不受外力，因而水平動(dòng)量守恒．用位移與時(shí)間之比表示速度，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒和幾何關(guān)系列式求解．
（2）根據(jù)系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒分別列式，聯(lián)立可求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）雖然小球、細(xì)繩及圓環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力不為零（桿的支持力與兩圓環(huán)及小球的重力之和不相等），系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，但是系統(tǒng)在水平方向不受外力，因而水平動(dòng)量守恒．設(shè)細(xì)繩與AB成θ角時(shí)小球的水平速度為v，圓環(huán)的水平速度為V，取水平向右為正方向，由水平動(dòng)量守恒有：
MV-mv=0
且在任意時(shí)刻或位置V與v均滿足這一關(guān)系，加之時(shí)間相同，公式中的V和v可分別用其水平位移替代，則上式可寫(xiě)為：
Md-m[（L-Lcosθ）-d]=0
解得圓環(huán)移動(dòng)的距離：d=$\frac{mL（1-cosθ）}{M+m}$
（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)和小球的速度大小分別為v₁和v₂．根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
0=Mv₁+mv₂；
mgL=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²；
聯(lián)立解得：v₂=$\sqrt{\frac{2MgL}{m+M}}$
答：（1）當(dāng)線繩與AB成θ角時(shí)，圓環(huán)移動(dòng)的距離是$\frac{mL（1-cosθ）}{M+m}$．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{\frac{2MgL}{m+M}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，能用位移表示出速度，不過(guò)要注意位移的參考系必須是地面．