Question

3．如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為m=80g小物塊，帶上正電荷q=2×10^-4C，與水平的軌道MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25．在一個(gè)水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，E=3×10³V/m，在水平軌道的末端N處，連接一個(gè)光滑的豎直半圓形軌道NPL，半徑為R=50cm．小物塊從水平軌道上某位置由靜止釋放，恰好能夠沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)L．取g=10m/s²，求：
（1）小物塊的釋放點(diǎn)離N多遠(yuǎn)？
（2）小物塊運(yùn)動(dòng)到P（軌道中點(diǎn)）點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力等于多少？
（3）小物塊運(yùn)動(dòng)中的最大速度為多少（可用根號(hào)表示）？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物塊恰好通過(guò)軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度．從物塊釋放到運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功-2mgR，電場(chǎng)力做功qEs，滑動(dòng)摩擦力做功-μmgs，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊釋放位置到N點(diǎn)的距離s．
（2）小物塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，受到重力、電場(chǎng)力和支持力的作用，其中重力和電場(chǎng)力對(duì)小物塊做功，支持力不做功，當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)的位置時(shí)，以物塊為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理即可求出小物塊的速度，然后結(jié)合向心力的來(lái)源，由牛頓第二定律即可求出支持力．
（3）根據(jù)重力和電場(chǎng)力的合力方向得出等效重力場(chǎng)的方向，則可知當(dāng)粒子到達(dá)最效最低點(diǎn)時(shí)的速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理可求得最大速度．

解答 解：（1）物塊能通過(guò)軌道最高點(diǎn)的條件為：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s
從物塊釋放到運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：qEs-μmgs-mg?2R=$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)解得：s=2.5m
（2）物塊從P到最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-mgR-qER=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_p²
物塊在P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，有：F_N-qE=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得軌道對(duì)物塊的彈力為：F_N=4.2N
由牛頓第三定律物塊對(duì)軌道的壓力等于F′_N=F_N=4.2N
（3）將重力與電場(chǎng)力的合力看成等效重力，電場(chǎng)力與重力的比值，即為θ角的正切值，有：tanθ=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{3}{4}$ 
即θ=37°
物塊滑到D點(diǎn)時(shí)將有最大速度，從釋放物塊到滑至D點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：
qE（s+Rsinθ）-μmgs-mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²
帶入數(shù)據(jù)解得：v_D=$\frac{\sqrt{110}}{2}$m/s
答：（1）小物塊的釋放點(diǎn)離N距離為2.5m；
（2）小物塊運(yùn)動(dòng)到P（軌道中點(diǎn)）點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力等于4.2N；
（3）小物塊運(yùn)動(dòng)中的最大速度為$\frac{\sqrt{110}}{2}$m/s

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)考查動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，要注意明確等效重力場(chǎng)的基本方法，知道在等效最高點(diǎn)速度最小，而在等效最低點(diǎn)速度最大，注意通過(guò)L點(diǎn)時(shí)還沒(méi)有到達(dá)等效最高點(diǎn)，故不需要考慮等效最高點(diǎn)，只需要讓重力充當(dāng)向心力即可．