Question

19．如圖所示，PCD為豎直面內的光滑絕緣軌道，其中PC段水平，CD段為半圓形軌道，整個軌道處于與豎直方向夾角為θ=60°斜向右下方的勻強電場中，場強大小為E=$\frac{2mg}{q}$，一與電場方向平行的光滑斜面固定在水平面上，其底端與軌道平面由微小圓弧連接．一帶電荷量為+q的金屬小球甲，從距離地面高為H的A點由靜止開始沿斜面滑下，與靜止在C點的不帶電金屬小球乙發(fā)生碰撞并交換速度．已知甲、乙兩小球大小相同，質量均為m，水平軌道PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$H，不考慮兩球之間的靜電力，小球與軌道間無電荷轉移，碰撞瞬間兩球電荷均勻分布，g取10m/s²
（1）求甲球與乙球碰撞時的速度大��；
（2）甲、乙兩球碰撞后，若乙球第一次沿半圓形軌道上升過程中不脫離軌道，則軌道的半徑R應該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）將小球的運動分為從A點到P點和從P點到C點兩個階段，分別分析，利用動能定理列式，求出甲球在C點的速度就是甲球與乙球碰撞時的速度大��；
（2）找出乙球在最高點需要滿足的條件，由動能定理求出最高點速度，最后解出軌道的半徑R應該滿足的條件；

解答 解：（1）甲球從A點運動到P點的過程，電場力和重力做正功，由動能定理得
$qE•\frac{H}{cosθ}+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
甲球在從P點運動到C點的過程中，電場力在水平方向的分力對小球做正功，由動能定理得
$qEsinθ•\frac{2\sqrt{3}}{3}H=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得v_C=$\sqrt{14gH}$；
（2）乙球第一次沿半圓形軌道上升過程中不脫離軌道，則在最高點速度需滿足$mg+\frac{q}{2}Ecos60°≤m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
而從C運動到D階段，由動能定理得$-\frac{q}{2}Ecosθ•2R-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得R≤$\frac{28}{15}H$；
答：（1）甲球與乙球碰撞時的速度大小為$\sqrt{14gH}$；
（2）甲、乙兩球碰撞后，若乙球第一次沿半圓形軌道上升過程中不脫離軌道，則軌道的半徑R應該滿足R≤$\frac{28}{15}H$．

點評 本題結合電場考查了動能定理和圓周運動，第（2）問解題的關鍵是尋找臨界條件，平時做題需要多總結常見的臨界條件．根據(jù)臨界條件列式求解即可．