Question

6．萬有引力定律揭示了天體運動規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內在的一致性．
（1）用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同結果．已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G．將地球視為半徑為R、質量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響．設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數是F₀．
①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F₁，求比值$\frac{F_1}{F_0}$的表達式，并就h=1.0%R的情形算出具體數值（計算結果保留兩位有效數字）；
②若在赤道表面稱量，彈簧測力計讀數為F₂，求比值$\frac{F_2}{F_0}$的表達式．
（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑為r、太陽半徑為R_s和地球的半徑R三者均減小為現在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變．僅考慮太陽與地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的1年將變?yōu)槎嚅L？

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表達式，并求出具體的數值．
在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力，根據該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表達式
（2）根據萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽半徑的關系，從而進行判斷．

解答 解：（1）設物體的質量為m
①在北極地面   ${F_0}=\frac{GMm}{R^2}$
在北極上空高出地面h處    ${F_1}=\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$
$\frac{F_1}{F_0}=\frac{R^2}{{{{（R+h）}^2}}}$
當  h=1.0%R時   $\frac{F_1}{F_0}=\frac{1}{{{{（1+0.01）}^2}}}≈0.98$
②在赤道地面，物體隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧測力計的拉力，有   $\frac{GMm}{R^2}-{F_2}=\frac{{m4{π^2}}}{T^2}R$
聯立可得：$\frac{F_2}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$
（2）地球繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力．設太陽的質量為M_s，太陽的半徑為R_s，地球質量為M，地球公轉周期為T_E，則$\frac{{G{M_s}M}}{r^2}=\frac{{M4{π^2}}}{T_E^2}r$得    ${T_E}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{M_s}}}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}{{（\frac{r}{R_s}）}^3}}$
其中，ρ為太陽的密度．由上式可知：地球公轉周期T_E僅與太陽的密度、地球公轉軌道半徑和太陽半徑之比有關．因此，“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同．
答：（1）①比值$\frac{F_1}{F_0}$的表達式$\frac{{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$，并就h=1.0%R的情形算出具體數值0.98
②比值$\frac{F_2}{F_0}$的表達式$1-\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM{T}_{\;}^{2}}$
（2）計算“設想地球”的地球公轉周期不變．仍然為1年．

點評 解決本題的關鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力．