Question

1．如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，Y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向外．Q_l、Q₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，L）、（0，-L），坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸放置的絕緣彈性擋板，C為擋板中點(diǎn)．帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y軸方向分速度不變，沿x軸方向分速度反向，大小不變．現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為+q的粒子，在P點(diǎn)沿PQ_l方向進(jìn)入磁場(chǎng)，a=30°，不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子從點(diǎn)Q_l直接通過點(diǎn)Q₂，求粒子初速度大�。�
（2）若粒子與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，求粒子初速度大小及擋板的最小長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度；
（2）抓住與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（甲）所示，設(shè)PQ₁與x軸正方向夾角為θ，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₁
由幾何關(guān)系得：R₁cosα=L ①
其中：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ②
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$ ③
由①②③式聯(lián)立可得粒子初速度大小：v₁=$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$．
（2）由題意畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖（乙）所示，設(shè)PQ₁與x軸正方向夾角為α，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小為R₂，偏轉(zhuǎn)一次后在y負(fù)方向偏移量為△y₁，
由幾何關(guān)系得：△y₁=2R₂cosα ④
其中：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ⑤
為保證粒子最終能回到P，粒子與擋板碰撞后，速度方向應(yīng)與PQ₁連線平行，設(shè)每碰撞一次，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)在y軸上這段距離△y₂（如圖中A、E間距），
有：$\frac{\frac{△{y}_{2}}{2}}{\frac{L}{3}}$=tanα=$\frac{1}{2}$ 
得：△y₂=$\frac{L}{3}$ ⑥
當(dāng)粒子只碰二次，其幾何條件是3△y₁-2△y₂=2L ⑦
④⑤⑥⑦式聯(lián)立得：R₂=$\frac{2\sqrt{5}L}{9}$ ⑧
粒子磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑨
⑧⑨式子聯(lián)立得：v=$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．
答：（1）從Q₁直接到達(dá)Q₂處的粒子初速度大小為$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$；
（2）只與擋板碰撞兩次并能回到P點(diǎn)的粒子初速度大小為$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要做出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡過程圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的關(guān)系要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．