Question

6．如圖所示，半徑R=0.8m的四分之一光滑圓弧軌道位于豎直平面內(nèi)，與長(zhǎng)為S=2.0m的絕緣水平面CD平滑連接．水平面右側(cè)空間存在互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=40N/C，方向豎直向上，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，方向垂直紙面向外．兩個(gè)質(zhì)量均為m=2.0×10^-6kg的小球a和b，a球不帶電，b球帶q=1.0×10^-6C的正電，并靜止于水平面右邊緣處．將a球從圓弧軌道頂端由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)與b球發(fā)生正碰，碰撞時(shí)間極短，碰后兩球粘合在一起飛入復(fù)合場(chǎng)中，最后落在地面上的P點(diǎn)．已知小球a在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦阻力f=0.1mg，PN=$\sqrt{3}$ND，取g=10m/s²．a(chǎn)、b均可作為質(zhì)點(diǎn)．（$\sqrt{3}$=1.73，結(jié)果保留三位有效數(shù)字）求：
（1）小球a與b相碰后瞬間速度的大小v；
（2）水平面離地面的高度h；
（3）從小球a開始釋放到落地前瞬間的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ab系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）a、b碰撞瞬間動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)能定理求a球運(yùn)動(dòng)到D時(shí)的速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒列方程求解即可．
（2）進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)，兩球整體重力等于電場(chǎng)力，因此只受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)向心力方程以及幾何關(guān)系可解得結(jié)果．
（3）系統(tǒng)損失機(jī)械能等于克服摩擦力、電場(chǎng)力所做的功以及碰撞過(guò)程損失能量之和．

解答 解：（1）設(shè)a球到D點(diǎn)時(shí)的速度為v_D，從釋放至D點(diǎn)，
根據(jù)動(dòng)能定理：$mgR-0.1mgS=\frac{1}{2}mv_D^2$
對(duì)a、b球，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
 mv_D=2mv
解得：v=1.73m/s
（2）兩球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，由計(jì)算可知Eq=2mg，兩球在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖所示
根據(jù)洛侖茲力提供向心力，有：qvB=2m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由圖可知：r=2h  
解得：h=2$\sqrt{3}$m≈3.46m
故水平面離地面的高度 h=3.46m
（3）根據(jù)功能關(guān)系可知ab系統(tǒng)損失的機(jī)械能：
△E=mg（R+h）+mgh-2×$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：△E=1.49×10^-4J
故從小球a開始釋放到落地前瞬間的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ab系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=1.49×10^-4J
答：
（1）小球a與b相碰后瞬間速度的大小v為1.73m/s；
（2）水平面離地面的高度h為3.46m；
（3）從小球a開始釋放到落地前瞬間的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ab系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E為1.49×10^-4J．

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合動(dòng)量守恒以及功能關(guān)系考查了帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)類似問(wèn)題關(guān)鍵是在復(fù)合場(chǎng)中對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行正確受力分析，弄清運(yùn)動(dòng)形式，結(jié)合有關(guān)規(guī)律求解．第3小題也可以這樣列式：△E=0.1mgS+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$+Eqh．