Question

回旋加速器在核科學(xué)、核技術(shù)、核醫(yī)學(xué)等高新技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，有力地推動了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。
(1)當(dāng)今醫(yī)學(xué)影像診斷設(shè)備PET/CT諶稱“現(xiàn)代醫(yī)學(xué)高科技之冠”，它在醫(yī)療診斷中，常利用能放射正電子的同位素碳11作示蹤原子。碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氮14獲得，同時還產(chǎn)生另一粒子，試寫出核反應(yīng)方程，若碳11的半衰期τ為20 min，經(jīng)2.0 h剩余碳11的質(zhì)量占原來的百分之幾？（結(jié)果取2位有效數(shù)字）
(2)回旋加速器的原理如圖所示，D₁和D₂是兩個中空的半徑為R的半圓金屬盒，它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上，位于D₁圓心處的質(zhì)子源A能不斷產(chǎn)生質(zhì)子（初速度可以忽略，重力不計），它們在兩盒之間被電場加速，D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，若質(zhì)子束從回旋加速器輸出時的平均功率為P，求輸出時質(zhì)子束的等效電流I與P、B、R、f的關(guān)系式（忽略質(zhì)子在電場中的運(yùn)動時間，其最大速度遠(yuǎn) 小于光速）。
(3)試推理說明：質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動時，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

解：(1)核反應(yīng)方程為： ①
設(shè)碳11原有質(zhì)量為m₀，經(jīng)過t₁=2.0h剩余的質(zhì)量為m_r，根據(jù)半衰期定義有：②
(2)設(shè)質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q，質(zhì)子離開加速器時速度大小為v，由牛頓第二定律知： ③
質(zhì)子運(yùn)動的回旋周期為： ④
由回旋加速器工作原理可知，交流電源的頻率與質(zhì)子回旋頻率相同，由周期T與頻率f的關(guān)系得：⑤
設(shè)在t時間內(nèi)離開加速器的質(zhì)子數(shù)為N，則質(zhì)子束從回旋加速器輸出時的平均功率為：⑥
輸出時質(zhì)子束的等效電流為： ⑦
由上述各式得： ⑧
若以單個質(zhì)子為研究對象解答過程正確的同樣得分
(3)設(shè)k(k∈N*)為同一盒中質(zhì)子運(yùn)動軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k、r_k+1(r_k+1>r_k)，△r_k=r_k+1-r_k，在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對應(yīng)的速度大小分別為v_k、v_k+1、D₁、D₂之間的電壓為U，由動能定理知：
 ⑨
由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動的向心力，知，則：
整理得 ⑩
因U、q、m、B均為定值，令，由上式得：
相鄰軌道半徑r_k+1、r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理
因為r_k+2>r_k，比較△r_k、△r_k+1得：△r_k+1＜△r_k
說明隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減小
一題多解：質(zhì)子在加速過程中加速不變，故可以看成做初速度為零的勻加速運(yùn)動，設(shè)質(zhì)子第n次經(jīng)過狹縫后的半徑為r_n，速度為v_n，由動能定理得：
在磁場中洛倫茲力提供向心力：
解得：
則得
那么半徑的差值之比為：
可見△r逐漸減小