Question

14．某電視臺(tái)娛樂(lè)節(jié)目中的場(chǎng)地設(shè)施如圖所示，AB為水平直軌道，上面裝有質(zhì)量為20kg的載人電動(dòng)懸掛器．水面上有一個(gè)半徑R為2m的固定轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)的軸心離平臺(tái)的水平距離L為8m，平臺(tái)邊緣與轉(zhuǎn)盤(pán)平面的高度差H為5m．一質(zhì)量為60kg的選手抓住懸掛器后在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下，從A點(diǎn)下方的平臺(tái)邊緣處開(kāi)始沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng)，選手必須在合適的位置放手，才能順序落在轉(zhuǎn)盤(pán)上．（不計(jì)選手身高大小，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²）．
（1）為保證他落在距圓心1m范圍內(nèi)不會(huì)被甩出轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度ω應(yīng)限值在什么范圍？設(shè)人與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4．選手落到轉(zhuǎn)盤(pán)上時(shí)相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)靜止．
（2）若懸掛器從靜止開(kāi)始做加速度為2m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，要使選手從某處C點(diǎn)放手后恰好落到轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心上，則AC的距離是多少？
（3）若電動(dòng)懸掛器以176W的恒定功率從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，選手仍從C點(diǎn)放手落到轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心上，則他從平臺(tái)出發(fā)后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落到轉(zhuǎn)盤(pán)上？（假設(shè)行駛過(guò)程中懸掛器受到水平直軌道的阻力與人和懸掛器總重成正比，比例系數(shù)為0.02）

Answer 1

分析 （1）選手在轉(zhuǎn)盤(pán)上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤(pán)角速度的范圍；
（2）抓住平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移等于L，結(jié)合位移公式和速度公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）對(duì)于選手在水平軌道上滑行過(guò)程，電動(dòng)機(jī)做功W=Pt，結(jié)合動(dòng)能定理求水平段時(shí)間，再加上平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求出選手從平臺(tái)出發(fā)后落到轉(zhuǎn)盤(pán)上經(jīng)過(guò)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)選手落在距圓心1m的位置恰好不會(huì)被甩出轉(zhuǎn)盤(pán)的臨界角速度為ω₀，
根據(jù)最大靜摩擦力提供向心力：μ（m+M）g=（m+M）ω₀²$\frac{R}{2}$
可得轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角度：ω₀=$\frac{2μg}{R}$=$\frac{2×0.4×10}{2}$rad/s=4rad/s
所以轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度ω應(yīng)滿足：ω≤ω₀=4rad/s
（2）水平加速段AC的位移為x₁，時(shí)間t₁；平拋時(shí)水平位移為x₂，時(shí)間為t₂，
則水平段AC加速時(shí)有：x₁=$\frac{1}{2}$at_l²
v=at_l
平拋運(yùn)動(dòng)階段有：x₂=vt₂
H=$\frac{1}{2}$gt₂²
全程水平方向上有：L=x₁+x₂
代入已知量數(shù)值，聯(lián)立以上各式解得，AC段的時(shí)間：t₁=2s
AC的距離：x₁=4m
（3）根據(jù)行駛過(guò)程中懸掛器受到水平直軌道的阻力與人和懸掛器總重成正比，則：f=k（M+m）g=0.02×（60+20）×10N=16N
要使選手從C點(diǎn)放手仍落到轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心上，AC的距離應(yīng)為x₁=4m，C點(diǎn)速度：v=at₁=4m/s
選手在水平軌道上滑行過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：Pt₃-fx₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v²
解得：t₃=$\frac{\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+f{x}_{1}}{P}$=$\frac{0.5×（60+20）×{4}^{2}+16×4}{176}$s=4s
所以，選手從平臺(tái)出發(fā)后落到轉(zhuǎn)盤(pán)上經(jīng)過(guò)的時(shí)間：t=t₃+t₂=t₃+$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=5s
答：（1）轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度ω應(yīng)限制在ω≤4rad/s的范圍；
（2）要使選手從某處C點(diǎn)放手后恰好落到轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心上，則AC的距離為4m；
（3）選手仍從C點(diǎn)放手落到轉(zhuǎn)盤(pán)的圓心上，則他從平臺(tái)出發(fā)后經(jīng)過(guò)4s落到轉(zhuǎn)盤(pán)上．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清選手的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，結(jié)合牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理靈活求解．