Question

11．為了測(cè)量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N．已知引力常量為G．則下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 該行星的質(zhì)量為$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}}$
• B． 該行星的半徑為$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$
• C． 該行星的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 在該行星的第一宇宙速度為$\frac{NT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式；在星球表面，用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式；聯(lián)立求解出質(zhì)量和半徑；第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度．

解答 解：A、B、登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R   ①
在星球表面，用彈簧稱(chēng)稱(chēng)量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，故：
N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$       ②
聯(lián)立解得：
M=$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{Gm}^{3}}$
R=$\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{Gm}^{3}}}{\frac{4}{3}π（\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}）^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故C正確；
D、第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故v=$\frac{2πR}{T}$=$\frac{2π（\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}）}{T}$=$\frac{NT}{2πm}$，故D正確；
本題選錯(cuò)誤的，故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問(wèn)題，關(guān)鍵值記住兩點(diǎn)：衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力；在星球表面，重力等于萬(wàn)有引力．