Question

6．如圖所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點以水平速度v₀向右拋出，經x軸上的M點進入電場和磁場后恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場．已知小球過M點時的速度方向與x軸的方向成夾角θ，不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）電場強度E的大小和方向；
（2）x軸上點M、N之間的距離L；
（3）x軸上點O、M之間的距離S．

Answer 1

分析 （1）小球從A到M做平拋運動，從M到N做勻速圓周運動，說明重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，從而確定電場大小與方向；
（2）由幾何知識求得半徑，進而求出速度，并根據運動的合成與分解，結合牛頓第二定律，即可求解；
（3）將運動分解成豎直方向與水平方向，根據運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，
則電場力和重力平衡，有：qE=mg①
$E=\frac{mg}{q}$②
重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上．
（2）設小球做圓周運動的速率為v，由速度的合成與分解知$\frac{v_0}{v}=cosθ$③
小球做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力提供．有$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$④
小球做勻速圓周運動的O′為圓心，L為弦長，∠MO'P=θ，如圖所示．

設半徑為r，由幾何關系知      $\frac{L}{2r}=sinθ$⑤
由③④⑤式得 L=$\frac{2m{v}_{0}^{2}tanθ}{qB}$              ⑥
（3）設小球平拋運動的時間為t，到M點時的豎直分速度為v_y，
它與水平分速度的關系為v_y=v₀tanθ⑦
由勻變速直線運動規(guī)律
t=$\frac{{v}_{y}}{g}$        ⑧
S=v₀t        ⑨
由⑦⑧⑨式得 S=$\frac{{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$；
答：（1）電場強度E的大小$\frac{mg}{q}$和方向豎直向上；
（2）x軸上點M、N之間的距離$\frac{2m{v}_{0}^{2}tanθ}{qB}$；
（3）x軸上點O、M之間的距離$\frac{{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場中運動問題，磁場中圓周運動處理的基本方法是畫軌跡，重力場中也可運用運動的合成和分解，同時掌握幾何關系在本題的正確運用．