Question

10．在地球上觀測(cè)，太陽(yáng)與地內(nèi)行星（金星、水星）可視為質(zhì)點(diǎn)，它們與眼睛連線的夾角有最大值時(shí)叫大距．地內(nèi)行星在太陽(yáng)東邊時(shí)為東大距，在太陽(yáng)西邊時(shí)為西大距，如圖所示．已知水星到太陽(yáng)的平均距離約為0.4天文單位（1天文單位約為太陽(yáng)與地球間的平均距離），金星到太陽(yáng)的平均距離約為0.7天文單位，地內(nèi)行星與地球可認(rèn)為在同一平面內(nèi)的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，地球的自轉(zhuǎn)方向與公轉(zhuǎn)方向相同，取$\sqrt{0.7}$≈0.8，$\sqrt{0.4}$≈0.6，則下列說(shuō)法中正確的是（　　）

• A． 水星的公轉(zhuǎn)周期為0.4年
• B． 水星的線速度大約為金星線速度的1.3倍
• C． 水星兩次東大距的間隔時(shí)間大約$\frac{6}{19}$年
• D． 金星兩次東大距的間隔時(shí)間比水星短

Answer 1

分析 由萬(wàn)有引力提供向心力可確定周期，線速度表達(dá)式，可確定其的比值與間隔時(shí)間．

解答 解：A、行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得，行星公轉(zhuǎn)周期為 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，式中M是太陽(yáng)的質(zhì)量，r是行星的公轉(zhuǎn)軌道半徑．
則水星與地球公轉(zhuǎn)周期之比 $\frac{{T}_{水}}{{T}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{水}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}$=$\sqrt{0．{4}^{3}}$=0.4$\sqrt{0.4}$，所以水星的公轉(zhuǎn)周期為 T_水=0.4$\sqrt{0.4}$年，故A錯(cuò)誤
B、由萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，則水星的線速度與金星線速度之比 $\frac{{v}_{水}}{{v}_{金}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{金}}{{r}_{水}}}$=$\sqrt{\frac{0.7}{0.4}}$=$\frac{0.8}{0.6}$≈1.3，則B正確．
C、設(shè)水星兩次東大距的間隔時(shí)間為t．則 2π=$\frac{2π}{{T}_{水}}$t-$\frac{2π}{{T}_{地}}$t，得 t=$\frac{{T}_{地}{T}_{水}}{{T}_{地}-{T}_{水}}$=$\frac{1×0.4\sqrt{0.4}}{1-0.4\sqrt{0.4}}$年≈$\frac{6}{19}$年，則C正確
D、因金星的周期長(zhǎng)，則金星兩次東大距的間隔時(shí)間比水星長(zhǎng)，則D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵首先要讀題意，明確大距的含義，要明知道行星運(yùn)行時(shí)向心力來(lái)源于太陽(yáng)的萬(wàn)有引力，并由列式可確定出行星公轉(zhuǎn)的周期、線速度的表達(dá)式．