Question

10．中國月球探測工程的形象標(biāo)志是以中國書法的筆觸，勾勒出一輪明月和一雙踏在其上的腳印，象征著月球探測工程的終極夢想．我國的“嫦娥三號”有望在2013年登月探測90天，并已給登月點(diǎn)起了一個(gè)富有詩意的名字--“廣寒宮”．
（1）若“嫦娥三號”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知月球半徑為R，引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M；
（2）若宇航員隨“嫦娥三號”登陸月球后，在月球表面離月面H高處由靜止釋放一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t 落到月球表面．已知月球半徑為R，引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 1、“嫦娥三號”繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，化簡可得地球的質(zhì)量．
2、小球在月球表面做自由落體運(yùn)動(dòng)H=$\frac{1}{2}$gt²，化簡可得月球表面重力加速度，再根據(jù)月球表面的物體受到重力等于萬有引力m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，化簡可得月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）“嫦娥三號”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
得月球質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）小球在月球表面做自由落體運(yùn)動(dòng)H=$\frac{1}{2}$gt²；
得月球表面重力加速度g=$\frac{2H}{{t}^{2}}$
在月球表面球的重力等于球受到月球的萬有引力
設(shè)球的質(zhì)量為m′，則有
m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，
解得M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2H{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
答：（1）若“嫦娥三號”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若宇航員隨“嫦娥三號”登陸月球后，在月球表面離月面H高處由靜止釋放一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t 落到月球表面．已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的質(zhì)量$\frac{2H{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力，注意引力提供向心力，與引力等于重力的兩種情況．