Question

5．彈跳桿運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)廣受歡迎的運(yùn)動(dòng)．某種彈跳桿的結(jié)構(gòu)如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個(gè)套在跳桿上的腳踏板底部．一質(zhì)量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當(dāng)他和跳桿處于豎直靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧的壓縮量為x₀．從此刻起小孩做了一系列預(yù)備動(dòng)作，使彈簧達(dá)到最大壓縮量3x₀，如圖乙（a）所示；此后他開(kāi)始進(jìn)入正式的運(yùn)動(dòng)階段．在正式運(yùn)動(dòng)階段，小孩先保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達(dá)到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落．跳桿下端觸地（不反彈）的同時(shí)小孩采取動(dòng)作，使彈簧最大壓縮量再次達(dá)到3x₀；此后又保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，…，重復(fù)上述過(guò)程．小孩運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知跳桿的質(zhì)量為m，重力加速度為g．空氣阻力、彈簧和腳踏板的質(zhì)量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計(jì)．

（1）求彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k，并在圖丙中畫出該彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖；
（2）借助彈簧彈力的大小F隨彈簧壓縮量x變化的F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求在圖乙所示的過(guò)程中，小孩在上升階段的最大速率；
（3）求在圖乙所示的過(guò)程中，彈跳桿下端離地的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平衡條件以及胡克定律可求得勁度系數(shù)，并畫出對(duì)應(yīng)的圖象；
（2）對(duì)全過(guò)程進(jìn)行分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可求得最大速度；
（3）分別對(duì)彈簧恢復(fù)原狀和小孩抓住桿的過(guò)程由機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律列式，聯(lián)立即可求得最大高度．

解答 解：（1）小孩處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，根據(jù)平衡條件有Mg=kx₀
解得：k=$\frac{Mg}{{x}_{0}}$   
F-x圖如圖所示

（2）利用F-x圖象可知，圖線與橫軸所包圍的面積大小等于彈簧彈力做功的大�。�
彈簧壓縮量為x時(shí)，彈性勢(shì)能為 E_p弾=$\frac{1}{2}$kx²
圖a狀態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能為 E_p弾1=$\frac{1}{2}$k（3x₀）²
小孩從圖a至圖b的過(guò)程，小孩先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧彈力與重力等大時(shí)小孩向上運(yùn)動(dòng)的速度最大，設(shè)其最大速度為v_max
此時(shí)彈簧壓縮量為x₀，彈簧的彈性勢(shì)能為 E_p弾2=$\frac{1}{2}$kx²
從圖a至小孩向上運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大的過(guò)程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：
   $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀-x₀）+$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$kx²
解得：v_max=2$\sqrt{g{x}_{0}}$
（3）圖a狀態(tài)至彈簧長(zhǎng)度為原長(zhǎng)的過(guò)程中，小孩和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒．設(shè)小孩在彈簧長(zhǎng)度為原長(zhǎng)時(shí)的速度為v₀，則有：
   $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀）+$\frac{1}{2}$Mv²                          
小孩迅速抓住跳桿的瞬間，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，小孩和彈跳桿系統(tǒng)動(dòng)量守恒．
設(shè)小孩和彈跳桿共同速度為v₁，規(guī)定豎直向上方向?yàn)檎�，有Mv₀=（M+m）v₁
小孩和彈跳桿一起豎直上升至最高點(diǎn)，小孩和彈跳桿系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有：
  $\frac{1}{2}$（M+m）v²=（M+m）gh_max
解得：h_max=$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2{（M+m）}^{2}}$
答：
（1）彈跳桿中彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{Mg}{{x}_{0}}$，彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖如下圖所示；

（2）在圖乙所示的過(guò)程中，小孩在上升階段的最大速率為2$\sqrt{g{x}_{0}}$．
（3）在圖乙所示的過(guò)程中，彈跳桿下端離地的最大高度為$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2{（M+m）}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確分析全過(guò)程，明確彈簧的彈性勢(shì)能與重力勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化及守恒規(guī)律的應(yīng)用；即注意能量轉(zhuǎn)化的方向問(wèn)題．