Question

7．如圖，在水平面上有一彈簧，其左端與墻壁相連，O點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置，O點(diǎn)左側(cè)水平面光滑．水平段OP長(zhǎng)L=1m，P點(diǎn)右側(cè)一與水平方向成θ=30°角的皮帶輪與水平面在p點(diǎn)平滑連接，皮帶輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，速度為3m/s．一質(zhì)量為1kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊A壓縮彈簧（與彈簧不連接），彈性勢(shì)能E_p=9J，物塊與OP段動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1；另一與A完全相同的物塊B停在P點(diǎn)，B與皮帶輪的摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，皮帶輪足夠長(zhǎng)．A與B的碰撞為彈性碰撞且碰撞時(shí)間不計(jì)，重力加速度g取10m/s²，現(xiàn)釋放A，求：
（1）物塊A與B第一次碰撞前的速度；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）A、B碰撞的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）從釋放到與B碰撞前的過程，對(duì)A運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求解物塊A與B第一次碰撞前的速度；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后A、B的速度．B獲得速度后碰后B沿皮帶輪向上勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零，然后向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，分段求出時(shí)間，即可得解．
（3）B與A第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后A向左運(yùn)動(dòng)再返回時(shí)與B碰撞，B沿皮帶輪向上運(yùn)動(dòng)再原速返回，重復(fù)這一過程直至兩者不再碰撞．每一次過程中損失的機(jī)械能為2μ₁mgl，根據(jù)整個(gè)過程能量守恒列式求解A、B碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)物塊質(zhì)量為m，A與B第一次碰撞前的速度為v₀，由動(dòng)能定理：
E_p-μ₁mgl=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=4m/s；
（2）設(shè)A、B第次碰撞后的速度分別為v_A，v_B，以A的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv₀=mv_A+mv_B，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_A=0，v_B=4m/s，
碰后B沿皮帶輪向上勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零，加速度大小設(shè)為a₁，由牛頓第二定律：
a₁=$\frac{mgsinθ+{μ}_{2}mgcosθ}{m}$=gsinθ+μ₂gcosθ=10m/s²
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}$=0.4s
運(yùn)動(dòng)的位移為：x₁=$\frac{{v}_{B}}{2}$t₁=0.8m
此后B開始向下加速，加速度仍為a₁，速度與皮帶輪速度v相等時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速時(shí)間為t₂，位移為x₂，勻速時(shí)間為t₃
則有：t₂=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.3s，x₂=$\frac{v}{2}$t₂=0.45m，t₃=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{v}$=0.117s
A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=0.817s
（3）B與A第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后A向左運(yùn)動(dòng)再返回與B碰撞，B沿皮帶輪向上運(yùn)動(dòng)再原速返回，重復(fù)這一過程直至兩者不再碰撞．每一次過程中損失的機(jī)械能為2μ₁mgl，設(shè)第二次碰撞后重復(fù)的過程數(shù)為n，則：
$\frac{1}{2}$mv²=n×2μ₁mgl，
解得：n=2.25，故兩者碰撞的次數(shù)為6次；
答：（1）物塊A與B第一次碰撞前的速度為4m/s；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.817s；
（3）A、B碰撞的次數(shù)為6次．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要理清物體的運(yùn)動(dòng)過程，其次要準(zhǔn)確把握每個(gè)過程所遵守的物理規(guī)律，特別要掌握彈性碰撞過程，動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，兩物體質(zhì)量相等時(shí)交換速度．