Question

如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里、大小為B，x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，方向與y軸的夾角θ=45°且斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，該離子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為
45°．不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域和電場(chǎng)區(qū)域足夠大．
求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析：帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)，至第一次到x軸為第一過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由“畫(huà)軌跡、找圓心、求半徑”的思路求解第（1）問(wèn)，同時(shí)還可以求出這一過(guò)程的時(shí)間．（要盡力把圖做準(zhǔn)確）
帶電粒子逆著電場(chǎng)力方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類(lèi)似豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這是第二過(guò)程．同牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可以求這個(gè)過(guò)程的時(shí)間．
帶電粒子沒(méi)與x軸負(fù)向夾角為45°的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此為第三過(guò)程．再一次由由“畫(huà)軌跡、找圓心、求半徑”的思路過(guò)求得這一過(guò)程的時(shí)間．

解答：解：
（1）磁場(chǎng)中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，故有：qvB=m

v 2 0

r

同時(shí)有T=

2πr

v0

=

2πm

qB

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)知，
xc=-(r+rcos45°)=-

(2+ 2 )mv0

2qB

故，C點(diǎn)坐標(biāo)為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由題意知：
t1=

5

8

T=

5πm

4qB

設(shè)粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，有：
qE=ma
2v₀=at₂
聯(lián)立以上解得：
t2=

2mv0

qE

設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，由題意得：
t3=

1

4

T=

πm

2qB

故而，設(shè)粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為：
t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

 答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

7πm

4qB

+

2mv0

qE

．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法及關(guān)鍵：
（1）．尋找突破口（程序法：順藤摸瓜，逆向思維法：反其道而行之．）
（2）．畫(huà)好軌跡圖（在畫(huà)圖的基礎(chǔ)上特別注意運(yùn)用幾何知識(shí)尋找關(guān)系．）
（3）．巧選力學(xué)規(guī)律（力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：根據(jù)帶電粒子所受的力，運(yùn)用牛頓第二定律并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解．功能關(guān)系：根據(jù)場(chǎng)力及其它外力對(duì)帶電粒子做功引起的能量變化或全過(guò)程中的功能關(guān)系，從而可確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，這條線(xiàn)索不但適用于均勻場(chǎng)，也適用于非均勻場(chǎng)．因此要熟悉各種力做功的特點(diǎn)．解決這類(lèi)題時(shí)一定要注意臨界條件的挖掘：如“恰好”、“最大”、“最多”、“至少”…等關(guān)鍵詞，往往是解題的突破口．）