Question

15．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）在粗糙的水平面上滑行一段距離l_AB后從圓軌道的最低點(diǎn)B滑進(jìn)光滑的軌道內(nèi)測(cè)，若小球在A點(diǎn)的初速度大小為v₀，水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，l_AB=6.0m，圓軌道的半徑為R=0.9m，若利用小球在圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)的速度大小滿足關(guān)系：$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²=mgh，其中v₁為滑塊在B點(diǎn)的速度大小，v₂為小球離B點(diǎn)高度差為h時(shí)的瞬時(shí)速度大小．（重力加速度取g=10m/s²）

（1）試求當(dāng)小球能恰好運(yùn)動(dòng)到豎直圓軌道的最高點(diǎn)C的情況下，小球在A點(diǎn)應(yīng)有的初速度大小v₀．
（2）如若小球不能到達(dá)最高點(diǎn)C，而是在圖中的D點(diǎn)便要脫離圓軌道，在已知D點(diǎn)離B點(diǎn)的高度差為h_D=1.35m的情況下，求小球脫離軌道時(shí)的速度大小v_D．（結(jié)果直接用根號(hào)表示）（注：此問(wèn)題的設(shè)計(jì)與本題第（1）求得的結(jié)果無(wú)關(guān)！）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和速度位移公式求出小球在A點(diǎn)的初速度．
（2）當(dāng)小球脫離軌道時(shí)，彈力為零，靠徑向的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律和幾何關(guān)系求出D點(diǎn)的速度大�。�

解答 解：（1）根據(jù)題中條件，沿圓軌道從B到C有：$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_C^2=mg•2R$
且在C處滿足臨界條件：$mg=m\frac{v_C^2}{R}$
在水平面上從A到B，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：-μmg=ma
$v_B^2-v_A^2=2a{l_{AB}}$
聯(lián)立以上方程并代入數(shù)據(jù)解得：v₀=9m/s
（2）根據(jù)脫離條件與幾何關(guān)系有：$mgsinθ=m\frac{v_D^2}{R}$
且$sinθ=\frac{{{h_D}-R}}{R}=\frac{1}{2}$
解得：${v_D}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}m/s$
答：（1）小球在A點(diǎn)應(yīng)有的初速度大小為9m/s．
（2）小球脫離軌道時(shí)的速度大小為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道最高點(diǎn)的臨界情況，以及知道小球脫離軌道時(shí)，彈力為零，靠徑向的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律、動(dòng)能定理綜合求解，難度中等．