Question

11．已知某星球半徑是地球半徑$\frac{1}{4}$，質(zhì)量與地球質(zhì)量相同．且地球半徑R=6.4×10⁶m，地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg，地面附近的重力加速度g=10m/s²，求：
（1）該星球第一宇宙速度v₁
（2）若該星球自轉(zhuǎn)周期T=2.0×10⁴s，則發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，其距離地面的高度是多少？（π²≈10）

Answer 1

分析 （1）在星球表面都有萬有引力等于重力，分別對地球表面和星球表面，根據(jù)萬有引力等于重力列式求解星球表面重力加速度，在根據(jù)$mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R′}$解得該星球第一宇宙速度；
（2）在星球表面都有萬有引力等于重力，同步衛(wèi)星的周期與該星球自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)同步衛(wèi)星的萬有引力周期公式求解高度．

解答 解：（1）在星球表面都有萬有引力等于重力，則
地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
星球表面：$mg′=G\frac{Mm′}{{R′}^{2}}$
得g′=16g
根據(jù)$mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R′}$解得該星球第一宇宙速度：v₁=1.6×10⁴m/s
（2）在星球表面有：$mg′=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
對同步衛(wèi)星有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解聯(lián)立方程得：$h=\root{3}{\frac{g′（\frac{R}{4}）^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-\frac{R}{4}=1.44×1{0}^{7}m$
答：（1）該星球第一宇宙速度為1.6×10⁴m/s；
（2）若該星球自轉(zhuǎn)周期T=2.0×10⁴s，則發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，其距離地面的高度是1.44×10⁷m．

點評 本題抓住同步衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同，掌握相關(guān)公式并能靈活變形是解決問題的關(guān)鍵，知道在星球表面都有萬有引力等于重力，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．