Question

12．如圖所示，細繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg的物體，M的中點與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N．現(xiàn)使此平面繞中心軸線方向轉動，若g=10m/s²且m始終處于靜止狀態(tài)．求：
（1）若物體M恰好不受靜摩擦力作用，則平面轉動的角速度ω₀為多少？
（2）平面轉動的角速度ω在什么范圍內(nèi)，物體M才不會滑動？

Answer 1

分析 （1）物體M不受摩擦力時，M做圓周運動需要的向心力等于m的重力，由此結合牛頓第二定律解答即可；
（2）當M所受的最大靜摩擦力沿半徑方向向外時，角速度最小，當M所受的最大靜摩擦力沿半徑向內(nèi)時，角速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）物體M不受摩擦力時，M做圓周運動需要的向心力等于m的重力，得：
mg=Mω₀²r
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{mg}{Mr}}=\sqrt{\frac{0.3×10}{0.6×0.2}}=5rad/s$，
（2）當ω具有最小值時，M有向圓心運動趨勢，故水平面對M的靜摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2N．根據(jù)牛頓第二定律隔離M有：
T-f_m=Mω₁²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω₁=$\sqrt{10}$rad/s
當ω具有最大值時，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，大小也為2N．再隔離M有：
T+f_m=Mω₂²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω=$5\sqrt{2}$rad/s，
則平面轉動的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范圍內(nèi)，物體M才不會滑動．
答：（1）若物體M恰好不受靜摩擦力作用，則平面轉動的角速度ω₀為5rad/s；
（2）平面轉動的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范圍內(nèi)，物體M才不會滑動．

點評 解決本題的關鍵搞清圓周運動向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進行求解．