Question

12．宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的三顆星組成的三星系統(tǒng)．設三星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，三顆星的球心穩(wěn)定分布在邊長為a的等邊三角形的三個頂點上．三顆星圍繞等邊三角形的重心做勻速圓周運動，已知引力常量為G．關于三星系統(tǒng)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 三顆星的軌道半徑均為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$
• B． 三顆星表面的重力加速度均為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 一顆星的質量發(fā)生變化，不影響其他兩顆星的運動
• D． 三顆星的周期均為2πa$\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結果．

解答 解：A、由幾何關系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，故A正確．
B、在星球表面重力等于萬有引力$m′g=G\frac{mm′}{{R}^{2}}$，解得$g=\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故B錯誤．
C、一顆星的質量發(fā)生變化，萬有引力大小變化，合力不指向三角形中心，會影響其他兩顆星的運動．故C錯誤．
D、任意兩個星星之間的萬有引力F=$G\frac{mm}{{a}^{2}}$
每一顆星星受到的合力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}F$
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得T=$2πa\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$，故D正確．
故選：AD．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．