Question

3．雨滴接近地面的過程可以看做勻速直線運動，此時雨滴的速度稱為收尾速度．某同學在一本資料上看到，雨滴的收尾速度v與雨滴的半徑r成正比，由此該同學對雨滴運動中所受的阻力F作了如下幾種假設：
（1）阻力只與雨滴的半徑成正比，即F=kr（k為常數(shù)）．
（2）阻力只與速度的平方成正比，即F=kv²（k為常數(shù)）．
（3）阻力與速度的平方和半徑的乘積成正比，即F=krv²（k為常數(shù)）．
你認為哪種假設能夠解釋雨滴收尾速度與半徑成正比這一關系？請寫出推導過程．

Answer 1

分析 雨滴以收尾速度做勻速直線運動時，重力和阻力平衡，根據(jù)平衡條件列式；再根據(jù)G=mg=ρ•$\frac{4}{3}π{r}^{3}$•g列式；根據(jù)題目中“雨滴的收尾速度v與雨滴的半徑r成正比”列式；最后聯(lián)立得到結(jié)論即可．

解答 解：結(jié)論（3）是合理的，證明如下；
雨滴以收尾速度做勻速直線運動時，重力和阻力平衡，故：
mg=F       ①
其中：
G=mg=ρ•$\frac{4}{3}π{r}^{3}$•g ②
v=kr  ③
聯(lián)立得到：
F=$\frac{4πρg}{3{k}^{3}}{v}^{3}$
由于雨滴的收尾速度v與雨滴的半徑r成正比，故具有收尾速度時，阻力與速度的三次方成正比，也可以說與速度的平方和半徑的乘積成正比、與速度和半徑的平方乘積成正比、與速度的三次方成正比；
答：結(jié)論（3）是合理的，證明如上．

點評 本題是力平衡問題，關鍵是結(jié)合平衡條件和題意列式分析，實際上流體阻力與速度和橫截面積的乘積成正比．