Question

8．如圖所示，一根長為l的細繩懸掛在離地面高為H的天花板上的O點，繩的下端系有一質(zhì)量為m的小球，小球被拉到A點時繩與豎直方向的夾角為θ，將小球從A點由靜止釋放，經(jīng)過最低點時繩子突然斷裂，小球落到地面上的C點，圖中O′點為O點在水平地面上的投影點，不計空氣阻力，也不計繩子斷裂時機械能的損失，已知重力加速度g，則：
（1）以地面為參考平面，小球在A點時的重力勢能為多少？
（2）擺動中經(jīng)過最低點時繩子斷裂前的瞬間繩中張力為多少？
（3）若繩子長度可調(diào)節(jié)，當(dāng)繩長l滿足什么條件時，C點與O′點的距離最大？

Answer 1

分析 （1）重力勢能等于物體的重力與相對于零勢能面高度的乘積；
（2）小球向下擺動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出列式求出小球擺動中經(jīng)過最低點時的速度，再由牛頓第二定律求解繩中張力．
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律得到C點與O′點的距離與l的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）以地面為零勢能面，則小球在A點時相對于零勢能面的高度為：
 h=H-lcosθ；
則重力勢能為：E_P=mgh=mg（H-lcosθ）；
（2）由機械能守恒定律可得：
  mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
在最低點，由牛頓第二定律得
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得 F=3mg-2mgcosθ
（3）繩子斷裂后，小球豎直方向做自由落體運動，則
  H-l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=vt
解得 x=2$\sqrt{l（l-H）（1-cosθ）}$
由數(shù)學(xué)知識得知：當(dāng)l=$\frac{H}{2}$時，C點與O′點的距離最大．
答：
（1）以地面為參考平面，小球在A點時的重力勢能為mg（H-lcosθ）．
（2）擺動中經(jīng)過最低點時繩子斷裂前的瞬間繩中張力為3mg-2mgcosθ．
（3）若繩子長度可調(diào)節(jié)，當(dāng)繩長l滿足l=$\frac{H}{2}$的條件時，C點與O′點的距離最大．

點評 本題考查機械能守恒定律、向心力公式和平拋運動規(guī)律的應(yīng)用，根據(jù)物理規(guī)律得到平拋運動的射程與繩長的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，運用數(shù)學(xué)知識求極值問題，是應(yīng)具備的能力．