Question

在絕緣粗糙的水平面上相距為6L的A、B兩處分別固定電量不等的正電荷，兩電荷的位置坐標(biāo)如圖（甲）所示，已知B處電荷的電量為+Q．圖（乙）是AB連線之間的電勢(shì)φ與位置x之間的關(guān)系圖象，圖中x=L點(diǎn)為圖線的最低點(diǎn)，x=-2L處的縱坐標(biāo)φ=φ₀，x=0處的縱坐標(biāo)φ=

25

63

φ₀，x=2L處的縱坐標(biāo)φ=

3

7

φ₀．若在x=-2L的C點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、電量為+q的帶電物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），物塊隨即向右運(yùn)動(dòng)．求：

（1）固定在A處的電荷的電量Q_A；
（2）為了使小物塊能夠到達(dá)x=2L處，試討論小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ所滿足的條件；
（3）若小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

kqQ

3mgL2

，小物塊運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)速度最大？并求最大速度v_m；
（4）試畫出μ取值不同的情況下，物塊在AB之間運(yùn)動(dòng)大致的速度-時(shí)間關(guān)系圖象．

Answer 1

（1）由圖（乙）得，x=L點(diǎn)為圖線的最低點(diǎn)，切線斜率為零，
即合場(chǎng)強(qiáng)E_合=0
所以

kQA

rA2

=

kQB

rB2

得

kQA

(4L)2

=

kQB

(2L)2

解得Q_A=4Q；
（2）物塊先做加速運(yùn)動(dòng)再做減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)x=2L處速度v_t≥0
從x=-2L到x=2L過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
qU1-μmgs1=

1

2

mv12-0，
即q(φ0-

3

7

φ0)-μmg(4L)=

1

2

mv12-0≥0
解得μ≤

qφ0

7mgL

；
（3）小物塊運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)，電場(chǎng)力與摩擦力的合力為零，設(shè)該位置離A點(diǎn)的距離為l_A
則：

k?q(4Q)

lA2

-

k?qQ

(6L-lA)2

-μmg=0
解得l_A=3L，即小物塊運(yùn)動(dòng)到x=0時(shí)速度最大．
小物塊從x=-2L運(yùn)動(dòng)到x=0的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
qU2-μmgs2=

1

2

mvm2-0
代入數(shù)據(jù)：q(φ0-

25

63

φ0)-μmg(2L)=

1

2

mvm2-0
解得vm=

76qφ0 63m - 4kqQ 3mL

（4）物塊在AB之間運(yùn)動(dòng)大致的速度-時(shí)間關(guān)系圖象可能為：

答：（1）固定在A處的電荷的電量Q_A為4Q．
（2）為了使小物塊能夠到達(dá)x=2L處，小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ所滿足的條件為μ≤

qφ0

7mgL

．
（3）若小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

kqQ

3mgL2

，小物塊運(yùn)動(dòng)到離A點(diǎn)的距離為3L處時(shí)速度最大．最大速度v_m為

76qφ0 63m - 4kqQ 3mL

．
（4）畫出μ取值不同的情況下，物塊在AB之間運(yùn)動(dòng)大致的速度-時(shí)間關(guān)系圖象，如上圖所示．